veritas liberabit vos

모든 정의는 이인석, 서울대학교출판문화원, <선형대수와 군>의 것을 따른다.

유입 키워드에 'isomorphic 개념'이 있길래 써본다. 내가 올려놓은 글에선 isomorphism의 개념에 대해서 설명해놓았다기 보다는 그저 책의 아름다움에 감탄만 나타나있으므로, 다소간 실망했을 것 같다. 부디 'isomorphic하다.'는 것의 느낌을 잘 깨달았기를.. 

(수정) 가장 먼저 언급해야할 것은, 벡터공간(vector space)의 의미에 관한 것이라고 생각되어 추가하도록 한다.

선형대수학은 벡터 공간에 대한 수학으로, 벡터 공간이란 벡터공간 공리를 만족시키는 공간을 가리킨다.(Vector space is a set of vectors. 벡터 공리는 생략하도록 한다.) 이때, 벡터공간에 주어진 연산은 덧셈과 실수배의 두 가지인데, 만약 어떤 두 벡터 공간이 연산의 구조가 같다면 두 공간은 사실상 같다고 말할 수 있다. 곧, V라는 벡터 공간에서 벌어지는 연산을 f라는 사상을 이용하여 벡터공간 W로 넘어와 살펴보았을 때 그 결과의 대응이 잘 유지된다면 그것을 사실상 같다고 말할 수 있는 것이다.

그것은, 특정한 벡터공간은 연산의 결과가 어떻게 되느냐에 따라 구조가 결정되는 것이라는 사실에서 자연스럽게 나오는 귀결이다. 단순히 E의 짝으로 H를 찾을 수 있고, F의 짝으로 I의 짝을 찾는 것을 넘어 E와 F에 주어진 연산을 한 결과의 짝이 E의 짝과 F의 짝에 주어진 연산을 한 결과와 같다는 것이 필요한 이유가 그것이다.

먼저 알아두어야 할 정의들이 있다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 f(v+v')=f(v)+f(v'), f(av)=af(v) (v,v' 은 V의 원소, a는 임의의 주어진 체의 원소)

를 만족하면, 'f는 선형이다(linear하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 선형사상(linear mapping,linear function, linear transformation)이라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 f(v)=f(v') 이면 v=v' 이다.

를 만족하면 'f는 단사이다(injective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 단사함수(injection,monomorphism)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 임의의 W의 원소 w에 대하여 어떤 V의 원소 v가 존재하여 f(v)=w 이다.

를 만족하면 'f는 전사이다(surjective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 전사함수(surjection,epimorphism)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가 전사이면서 동시에 단사이면 'f는 전단사이다(bijective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 전단사함수(bijection)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 선형사상(linear mapping) f:V->W 가 전단사이면 f를 동형사상(isomorphism)이라고 부른다.

이제 isomorphic하다는 것을 정의할 수 있다. '어떤 벡터공간 V와 W가 isomorphic하다(동형이다.)'라는 것은 V에서 W로의 isomorphism이 존재한다는 것을 의미한다. isomorphism의 정의를(즉, 단사와 전사, 전단사의 의미를) 잘 곱씹어보면, isomorphic한 벡터공간 V와 W는 모든 원소가 서로 단 하나의 짝만 가지고 대응된다는 것을 알 수 있다. 즉, V는 W의 원소로(그리고 W의 원소는 V의 원소로) 유일하게 대응된다. 그리고 이를 단지 '이름 바꾸기'라고 부르는 것도 무관할 것이다. 우리는 V의 원소 v에 대응되는 W의 원소 w를(W의 원소 w에 대응되는 V의 원소 v를) 언제나 어렵지 않게 찾을 수 있다. 그러므로 아주 급진적으로 우리는 'isomorphic하다.'는 것을 '사실상 같다.'고 까지 표현할 수 있겠다.

어째서 사실상 같다고 말할 수 있는가? 그것은 덧셈과 상수곱의 구조에 대해서 V와 W가 이름만 다를 뿐 사실상 같기때문이다. 곧, f가 선형이므로 벡터의 합의 이름 바꾸기와 벡터의 이름 바꾸기의 합이 서로 같다.(스칼라배에 대해서도 마찬가지이다.) 그리고 이제 왜 isomorphic하다는 것을 정의할때 선형이라는 조건이 필요한 지 알 수 있다.

열심히 그림까지 손으로 그렸는데 스캔이 안되다니 세상에...... 다들 꼭 한번 그림을 통해서 느낌을 분명히 하길 바란다. 정의(와 정리)를 이해하는데에 그림은 언제나 큰 도움이 된다.

http://www.newsen.com/news_view.php?uid=201304230800172341

국가인권위원회법 제2조 3항의 라에서는 성희롱을 "업무, 고용, 그 밖의 관계에서 공공기관(국가기관, 지방자치단체, 「초·중등교육법」 제2조, 「고등교육법」 제2조와 그 밖의 다른 법률에 따라 설치된 각급 학교, 「공직자윤리법」 제3조의2제1항에 따른 공직유관단체를 말한다)의 종사자, 사용자 또는 근로자가 그 직위를 이용하여 또는 업무 등과 관련하여 성적 언동 등으로 성적 굴욕감 또는 혐오감을 느끼게 하거나 성적 언동 또는 그 밖의 요구 등에 따르지 아니한다는 이유로 고용상의 불이익을 주는 것을 말한다."라고 규정하고 있는데, 목사와 신도사이의 관계를 사용자와 근로자의 관계에 준하는 것으로 볼 수 있다는 뜻인가? 

찾아보니 성희롱에 관한 법률은 저것 뿐인가? '성적으로 수치심을 주는 언어 폭력'은 성추행으로 편입되는 것인가.

도대체 어떤 마음가짐으로 그 거리에 나아갈 수 있었던 것인지 나는 감히 상상도 할 수 없다. 학교 밖의 사람들은 나쁘게 생각할지도 모르겠다, 난 모교가 너무 자랑스럽다. 민주주의 만세.

상아의 진리탑을 박차고 거리에 나선 우리는 질풍과 같은 역사의 조류에 자신을 참여시킴으로써 이성과 진리, 그리고 자유의 대학 정신을 현실의 참담한 박토(薄土)에 뿌리려 하는 바이다. 오늘의 우리는 자신들의 지성과 양심의 엄숙한 명령으로 하여 사악과 잔학의 현상을 규탄(糾彈), 광정(匡正)하려는 주체적 판단과 사명감의 발로임을 떳떳이 천명하는 바이다. 우리의 지성은 암담한 이 거리의 현상이 민주와 자유를 위장한 전제주의의 표독한 전횡(傳橫)에 기인한 것임을 단정한다. 무릇 모든 민주주의의 정치사는 자유의 투쟁사이다. 그것은 또한 여하한 형태의 전제로 민중 앞에 군림하던 '종이로 만든 호랑이' 같은 헤슬픈 것임을 교시(敎示)한다. 한국의 일천한 대학사가 적색전제(赤色專制)에의 항의를 가장 높은 영광으로 우리는 자부한다.

근대적 민주주의의 기간은 자유다. 우리에게서 자유는 상실되어가고 있다는 것을, 아니 송두리째 박탈되고 있다는 것을 우리는 이성의 혜안으로 직시한다. 이제 막 자유의 전장(戰場)엔 불이 붙기 시작했다. 정당히 가져야 할 권리를 탈환하기 위한 자유의 투쟁은 요원의 불길처럼 번져 가고 있다. 자유의 전역(全域)은 바야흐로 풍성해 가고 있는 것이다. 민주주의와 민중의 공복이며 중립적 권력체인 관료와 경찰은 민주를 위장한 가부장적 전제 권력의 하수인으로 발벗었다. 민주주의 이념의 최저의 공리인 선거권마저 권력의 마수 앞에 농단(壟斷)되었다. 언론, 출판, 집회, 결사 및 사상의 자유의 불빛을 무식한 전제 권력의 악랄한 발악으로 하여 깜빡이던 빛조차 사라졌다. 긴 칠흑같은 밤의 계속이다.

나이 어린 학생 김주열의 참시(懺屍)를 보라! 그것은 가식 없는 전제주의 전횡의 발가벗은 나상(裸像)밖에 아무것도 아니다. 저들을 보라! 비굴하게도 위하(위협과 협박)와 폭력으로써 우리들을 대하려 한다. 우리는 백보를 양보하더라도 인간적으로 부르짖어야 할 것 같은 학구(學究)의 양심을 강렬히 느낀다. 보라! 우리는 기쁨에 넘쳐 자유의 횃불을 올린다. 보라! 우리는 캄캄한 밤의 침묵에 자유의 종을 난타하는 타수(打手)의 일익(一翼)임을 자랑한다. 일제의 철퇴 아래 미칠 듯 자유를 환호한 나의 아버지, 나의 형들과 같이, 양심은 부끄럽지 않다. 외롭지도 않다. 영원한 민주주의의 사수파(死守派)는 영광스럽기만 하다. 보라! 현실을. 뒷골목에서 용기없는 자학을 되씹는 자까지 우리의 대열을 따른다. 나가자! 자유의 비밀은 용기일 뿐이다. 우리의 대열은 이성과 양심과 평화, 그리고 자유에의 열렬한 사랑의 대열이다. 모든 법은 우리를 보장한다.

1960년 4월 19일, 서울대학교 문리대학 학생 일동