veritas liberabit vos

모든 정의(와 그 숫자)는 <이인석, 선형대수와 군>의 것을 따른다.

보기 11.9.1. 가역행렬 전체의 집합을 

로 표기하고, [general linear group over F]라고 부른다. 는 행렬의 곱셈을 이항연산으로 갖는 group이다. (하략)

정의 12.3.20. G가 group 일 때,

로 표기하고, 를 G의 center(중심군)라고 부른다.

명제. 이다.

증명. 의 임의의 원소 A와 의 임의의 원소 B에 대하여 AB = BA가 성립해야한다. 이때 B는 임의의 가역행렬이므로 기초 행렬(elementary matrix)여도 상관없다. 따라서 첫째로 B가 i-번째 열의 a배를 j-번째 열에 더하는 기초 행렬 연산에 대응하는 기초 행렬이었다고 가정하자. 이때, 기초 행렬을 오른쪽에 곱하는 것은 동일한 연산을 행에 대해서 시행하는 것임이 잘 알려져 있으므로, AB 는 A 의 i 번째 행의 a 배를 j 번째 행에 더한 행렬임을 안다. 따라서 AB = BA 는 i-번째 행의 a배를 j-번째 행에 더한 것과 i 번째 열의 a배를 j-번째 열에 더한 것과 같다는 뜻이므로 A가 대각 행렬(diagonal matrix)이어야만 함을 함의한다. (왜 그런가?) 둘째로 B가 i-번째 열과 j-번째 열을 바꾸는 기초 행렬 연산에 대응하는 기초 행렬이었다고 가정하자. 기초 행렬 연산을 오른쪽에 행하는 것은 그 연산을 열에 행하는 것과 같음이 잘 알려져있고, 따라서 AB는 A의 i 번째 행과 j 번째 행을 바꾼 행렬임을 안다. 이때 BA는 A의 i 번째 행과 j 번째 열을 바꾼 행렬이고, A는 대각 행렬이므로 A의 i-번째 행(열)의 원소와 A의 j-번째 행(열)의 원소는 서로 같아야 한다. 따라서 A는 모든 성분이 같은 대각 행렬이고 이는 항등 행렬(Identity matrix)의 상수배로 나타낼 수 있다는 것과 같은 말이다. 증명 끝.

(모든 정의는 이인석, <선형대수와 군>의 것을 따른다.)

G={1,x_2,x_3,...} 라고 놓을 때, group G의 연산표를 다음과 같이 정의한다.(티스토리는 별 기능을 다 제공한다.)

관찰 11.2.9. (Cancellation Law) x,y,z ∈ G 일 때, xy = xz 이면 y = z 이다. 또, xz = yz 이면, x = y 이다.

관찰 11.2.14. 연산표의 각 가로줄에는 모두 다른 원소가 나타난다. 각 세로줄도 마찬가지이다.

 증명 : xy = xz 이면, Cancellation Law 에 의해 y = z 이므로.

관찰 11.2.15. 고정된 x ∈ G 에 대해서, 함수 λ_x : G -> G 를 

                             λ_x(y) = xy, (y ∈ G) 

로 정의하면, λ_x : G -> G는 bijection 이다. 더 고상하게 말하면, λ_x는 집합 G를 permute한다.

(※ λ(람다)는 left multiplication 에서 첫 글자를 따온 것이다. 마찬가지로 right multiplication은 ρ(로)로 표기한다.)

 증명 : 그 말이 그 말. 아차, 지금은 surjectivity 도 보여야 한다. 

 쭉쭉 읽고 써보다가 첫번째 든 의문은 다음과 같다. injectivity만 보여도 surjectivity가 보여지지 않는가? 즉, 어차피 G의 원소는 한정되어 있는데 서로가 달라야 한다면 모든 G의 원소들이 '선택받아야'하는 것 아닌가?  그리고 나서 다시 전으로 돌아와서 살펴보니 다른 의문이 들었다. 11.2.15. 에서는 left multiplication에 대해서만 보였는데 G가 가환(commutative)하지 않다면 증명이 불충분한 것이 아닌가? 즉, 가로줄 증명은 되었으나 세로줄 증명은 안된 것이 아닌가?

 첫번째 의문이 들었을때 가장 먼저 생각난 것이 dimension theorem이다. 그런데 곰곰히 생각해보니 λ_x가 선형이라는 것은 대체 무슨소리인가 싶은 것이다. 아, 그것이 중요한게 아니었다. 왜 dimension theorem에 의해 injectivity가 surjectivity를 보증하는가? 바로 비둘기집의 원리(pigeon hole principle)때문이었다. 그렇다면 비둘기집의 원리에 의해 surjectivity를 보이지 않아도 충분한가? 우선은 '그렇지 않다.' 이 책에서 언급된(4.3.4) 비둘기집의 원리는 유한 집합에 한정되어 있다.(cardinality가 생각나긴 했는데 아직 배우질 않아서 언급은 하지 않겠다.) 그리고나서 살펴보니 dimension theorem을 이용해 증명한 부분도 f.d.v.s.(finite dimensional vector space)에 한정되어 있었다. 따라서, '유한군에서는 비둘기집의 원리에 의해 bijection 임을 알 수 있지만, 무한군에 대해서는 surjectivity를 직접 증명해줘야 한다.'

 두번째 의문을 보고 책에 주어진 연산표들을 살펴보니 모두 가환군의 연산표라서 의미가 없었다. 그리고 또 생각을 해보니 비가환군에도 관찰 11.2.14.가 적용되므로 어차피 연산표를 봐봐야 당연히 의미가 없을 것이라는 것을 알게 되었다. 아무튼 곰곰히 생각해봐도 세로줄 증명은 관찰 11.2.14.의 끝에 '마찬가지이다.'라는 말로 갈음된 것 같다. 즉, xz = yz 이면 x = y 라는 사실과 right multiplication 이 bijection 이라는 사실에서 새로이 얻어야 하는 것 같다. 나도 모르겠다.

monthly 96 hannah geometric determinant.pdf

아직 완전하고 깔끔하게 전체를 설명해주는 것은 아니지만, 분명히 의미가 있는 시도라고 생각한다. 곧, 이렇게 저렇게 행렬식을 정의하고 나니 그것이 벡터들이 생성(span)하는 공간의 부피(volume)과 같았더라는 것이 아니라, 애초에 행렬식 자체를 해당 행렬이 변화시키는 크기를 측정가능한 공간의 부피 변화량으로 이를 정의하는 것은 참으로 참신하다.

한편, 그런 시도에도 불구하고 연립방정식의 해의 존재성을 이야기하는 행렬식의 시발점이 어떻게 부피로 이어지는가는 아직 풀리지 않는 문제다. 너무너무 흥미롭다! 

참고로 나는 I에서의 값이 1인 alternating n-linear form이 행렬식이라는 정의가 가장 아름답다고 생각한다. 이에 더하여 부피도 I에서의 값이 1인 alternating n-linear form이므로, det 과 vol이 같은 사상이라는 전개까지 말이다.

물론 음의 부피를 어떻게 이해할 것인지도 중요하다고 생각한다. 위의 논문은 original의 reflection이라고 표현했는데, 과연 무엇을 original로 볼 수 있는가? 분명한 정의가 필요할 것이다.

논문 중간의 그림은 행렬식이 부피를 나타낸다는 말을 분명하게 이해할 수 있도록 도움을 줄 것이다. 특히 figure2. 가 압권이라 생각한다.

모든 정의는 이인석, 서울대학교출판문화원, <선형대수와 군>의 것을 따른다.

유입 키워드에 'isomorphic 개념'이 있길래 써본다. 내가 올려놓은 글에선 isomorphism의 개념에 대해서 설명해놓았다기 보다는 그저 책의 아름다움에 감탄만 나타나있으므로, 다소간 실망했을 것 같다. 부디 'isomorphic하다.'는 것의 느낌을 잘 깨달았기를.. 

(수정) 가장 먼저 언급해야할 것은, 벡터공간(vector space)의 의미에 관한 것이라고 생각되어 추가하도록 한다.

선형대수학은 벡터 공간에 대한 수학으로, 벡터 공간이란 벡터공간 공리를 만족시키는 공간을 가리킨다.(Vector space is a set of vectors. 벡터 공리는 생략하도록 한다.) 이때, 벡터공간에 주어진 연산은 덧셈과 실수배의 두 가지인데, 만약 어떤 두 벡터 공간이 연산의 구조가 같다면 두 공간은 사실상 같다고 말할 수 있다. 곧, V라는 벡터 공간에서 벌어지는 연산을 f라는 사상을 이용하여 벡터공간 W로 넘어와 살펴보았을 때 그 결과의 대응이 잘 유지된다면 그것을 사실상 같다고 말할 수 있는 것이다.

그것은, 특정한 벡터공간은 연산의 결과가 어떻게 되느냐에 따라 구조가 결정되는 것이라는 사실에서 자연스럽게 나오는 귀결이다. 단순히 E의 짝으로 H를 찾을 수 있고, F의 짝으로 I의 짝을 찾는 것을 넘어 E와 F에 주어진 연산을 한 결과의 짝이 E의 짝과 F의 짝에 주어진 연산을 한 결과와 같다는 것이 필요한 이유가 그것이다.

먼저 알아두어야 할 정의들이 있다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 f(v+v')=f(v)+f(v'), f(av)=af(v) (v,v' 은 V의 원소, a는 임의의 주어진 체의 원소)

를 만족하면, 'f는 선형이다(linear하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 선형사상(linear mapping,linear function, linear transformation)이라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 f(v)=f(v') 이면 v=v' 이다.

를 만족하면 'f는 단사이다(injective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 단사함수(injection,monomorphism)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 임의의 W의 원소 w에 대하여 어떤 V의 원소 v가 존재하여 f(v)=w 이다.

를 만족하면 'f는 전사이다(surjective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 전사함수(surjection,epimorphism)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가 전사이면서 동시에 단사이면 'f는 전단사이다(bijective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 전단사함수(bijection)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 선형사상(linear mapping) f:V->W 가 전단사이면 f를 동형사상(isomorphism)이라고 부른다.

이제 isomorphic하다는 것을 정의할 수 있다. '어떤 벡터공간 V와 W가 isomorphic하다(동형이다.)'라는 것은 V에서 W로의 isomorphism이 존재한다는 것을 의미한다. isomorphism의 정의를(즉, 단사와 전사, 전단사의 의미를) 잘 곱씹어보면, isomorphic한 벡터공간 V와 W는 모든 원소가 서로 단 하나의 짝만 가지고 대응된다는 것을 알 수 있다. 즉, V는 W의 원소로(그리고 W의 원소는 V의 원소로) 유일하게 대응된다. 그리고 이를 단지 '이름 바꾸기'라고 부르는 것도 무관할 것이다. 우리는 V의 원소 v에 대응되는 W의 원소 w를(W의 원소 w에 대응되는 V의 원소 v를) 언제나 어렵지 않게 찾을 수 있다. 그러므로 아주 급진적으로 우리는 'isomorphic하다.'는 것을 '사실상 같다.'고 까지 표현할 수 있겠다.

어째서 사실상 같다고 말할 수 있는가? 그것은 덧셈과 상수곱의 구조에 대해서 V와 W가 이름만 다를 뿐 사실상 같기때문이다. 곧, f가 선형이므로 벡터의 합의 이름 바꾸기와 벡터의 이름 바꾸기의 합이 서로 같다.(스칼라배에 대해서도 마찬가지이다.) 그리고 이제 왜 isomorphic하다는 것을 정의할때 선형이라는 조건이 필요한 지 알 수 있다.

열심히 그림까지 손으로 그렸는데 스캔이 안되다니 세상에...... 다들 꼭 한번 그림을 통해서 느낌을 분명히 하길 바란다. 정의(와 정리)를 이해하는데에 그림은 언제나 큰 도움이 된다.