veritas liberabit vos

※ 혹시나 이 글을 읽는 학생이라면 아래 내용을 반드시 읽고 풀이 및 해설을 보도록 합니다.

모든 풀이의 처음에는 문제가 제시되어 있습니다. 혹시라도 한번 풀어봤더라도, 다시 한 번 살펴보면서 문제를 어떻게 풀 수 있을지 고민해보라는 뜻입니다.

풀이 및 해설은 문제제시 -> 분류 -> 선수개념 -> 문제 분해 -> 설명 -> 고민해볼 거리 의 순서로 제시됩니다.

단순히 풀이 방법을 아는 것을 넘어 이것을 바탕으로 어떻게 공부할 수 있을지 생각해볼 학생이라면, 제시된 순서를 따라 천천히 읽기 바랍니다. 읽는 과정에서 반드시 종이와 펜을 이용해 필요한 부분이 있다면 직접 적어보며 생각하도록 합시다.

분류는 블로그 주인의 입맛에 맞게 임의로 설정된 것이며, 선수개념도 마찬가지입니다. 그러나, 선수개념의 경우 보자마자 어떤 내용인지 머릿속에 떠오르는 것이 부족하다면 우선은 해당 부분의 교과서 및 참고서 내용을 보고 오도록 합니다.

문제 분해의 경우 문제를 읽으며 이것을 어떻게 이해해야하는가를 문제의 순서에 맞게 제시한 부분입니다. 이것은 가장 중요한 훈련이며, 사실상 문제를 풀지 못하는 경우의 80퍼센트 가량이 이것을 제대로 해내지 못한다는 것에서 기인합니다. 중간 중간에 적힌 (왜?)는 왜인지 반드시 생각해보라는 뜻입니다.

분류 : 특정 조건을 만족시키는 함수

선수개념 : 다항함수의 미분법, 곱의 미분법, 연립 방정식

문제 분해

● 다항함수 f(x) 와 g(x)

- 문제에서 대상이 되는 함수는 다항함수라는 사실을 머릿속에 저장해둔다.(미분가능성, 연속성, 차수, 근, 인수분해 등)

● 모든 실수 x에 대하여 

- g(x)의 차수는 f(x)의 차수보다 3크다.(우선은 직관적으로 조건들을 이해하면서 간다. 식이 있다는 것은 반드시 기억.)

● g(x)가 x=1에서 극솟값 24

- 우선은 극솟값이므로 미분계수가 0, 곧, g'(1)=0이라는 사실을 안다.(g(x)가 다항함수이므로 미분가능이다.)

- 를 곱의 미분법을 이용하여 미분하면 이야기를 뭔가 할 수 있겠다는 생각이 든다.(그러나 당장은 쓸 데가 없으므로 가능성만 기억해둔다.)

- 극솟값이 구체적으로 24이므로 g(1)=24라는 식을 얻는다. 마찬가지로 를 이용하면 더 얻어낼 수 있다는 생각은 드나, 당장 쓸모가 있을지는 확신할 수 없으므로 기억만 해둔다.

● f(1)-f'(1)의 값을 구하시오.

- 주어진 조건은 g(x)에 관련된 것인데, 구하라는 것은 f(x)에 관한 것이다. 따라서 를 다리로 이용해야겠다는 것이 확실해진다. 이제 기억해둔 것을 이용하여 몇 가지 사실을 알아낸다.

- 이므로 임을 얻는다.

- 이므로 임을 얻는다. 미지수(f(1) 과 f'(1))은 2개이고 얻은 식은 2개이므로 이를 연립하면 두 미지수를 구할 수 있다. 곧, f(1)과 f'(1)을 구할 수 있고 이를 이용하면 f(1)-f'(1)도 구할 수 있다.

고민해볼 거리

1. g(x)의 극솟값 이야기에서 곱의 미분법이 사용될 것이 예측되는가?

2. 조건과 구하는 것 사이의 연결고리를 찾을 수 있는가?

추가적으로, 미분가능성은 미분을 하기 전에 먼저 생각해야한다.(본 문제에서는 다항함수와 그의 곱에 대한 이야기이므로 미분가능성이 보장된다.) 연립방정식을 푼다는 것은 식 하나를 이용하여 문자(미지수) 하나를 없앤다는 느낌이라는 것을 기억해둔다.

추가적인 질문 사항이나 풀어줬으면 하는 문제가 있다면 댓글로 남겨주시길.

평화.