veritas liberabit vos

1. 행렬과 선형사상은 (사실상) 서로 같은 것이다. 본질적으로 같은 것이다보니 혼용이 너무 자연스럽게 일어나고, 그에따라 개념간의 혼동이 빈번하게 발생하게 된다. 벡터와 벡터의 좌표표현, 기본기저와 일반기저의 경우에가 특별히 그러하다.

일반적인 개념으로서의 벡터를 생각할때, 기본기저를 밑으로 하는 좌표표현이 가장 먼저 떠오르다보니 혼란은 가중된다. 추상의 개념을 이해하는데에 구체를 도입하는 것이 때로는 이해를 방해할 수도 있는 것이다. 다시 말하자면 추상화로서 얻게되는 간소화를 놓치게 되는 것이다.

2. http://www.hankyung.com/news/app/newsview.php?aid=2013052866251

난 저 드러그스토어라는 말이 너무 싫다. 헬스뷰티점이라는 표현도 뭔가 싫지만(건강미용잡화점이라고 표현할 수도 있지않나 하는 생각이 들긴 하지만 그건 너무 한글로 바꾸려고 하는 시도인 것 같은 생각에..) 저 표현은 비교도 안되게 싫다. 약국이라는 말과 무리하게 차별화를 하려고 하는 느낌이라고 해야하려나? 북미에서는 'Drug store'가 단순히 약만 파는 곳은 아니라지만(위키백과를 참조하였음.) 그렇다고 그걸 그대로 '드러그스토어'로 도입하다니... 외래어와 외국어를 분명하게 비교하는 것은 중요하고, 내가 보기에 드러그 스토어는 외래어라고 하기엔 무리가 있다.

모든 정의는 이인석, 서울대학교출판문화원, <선형대수와 군>의 것을 따른다.

유입 키워드에 'isomorphic 개념'이 있길래 써본다. 내가 올려놓은 글에선 isomorphism의 개념에 대해서 설명해놓았다기 보다는 그저 책의 아름다움에 감탄만 나타나있으므로, 다소간 실망했을 것 같다. 부디 'isomorphic하다.'는 것의 느낌을 잘 깨달았기를.. 

(수정) 가장 먼저 언급해야할 것은, 벡터공간(vector space)의 의미에 관한 것이라고 생각되어 추가하도록 한다.

선형대수학은 벡터 공간에 대한 수학으로, 벡터 공간이란 벡터공간 공리를 만족시키는 공간을 가리킨다.(Vector space is a set of vectors. 벡터 공리는 생략하도록 한다.) 이때, 벡터공간에 주어진 연산은 덧셈과 실수배의 두 가지인데, 만약 어떤 두 벡터 공간이 연산의 구조가 같다면 두 공간은 사실상 같다고 말할 수 있다. 곧, V라는 벡터 공간에서 벌어지는 연산을 f라는 사상을 이용하여 벡터공간 W로 넘어와 살펴보았을 때 그 결과의 대응이 잘 유지된다면 그것을 사실상 같다고 말할 수 있는 것이다.

그것은, 특정한 벡터공간은 연산의 결과가 어떻게 되느냐에 따라 구조가 결정되는 것이라는 사실에서 자연스럽게 나오는 귀결이다. 단순히 E의 짝으로 H를 찾을 수 있고, F의 짝으로 I의 짝을 찾는 것을 넘어 E와 F에 주어진 연산을 한 결과의 짝이 E의 짝과 F의 짝에 주어진 연산을 한 결과와 같다는 것이 필요한 이유가 그것이다.

먼저 알아두어야 할 정의들이 있다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 f(v+v')=f(v)+f(v'), f(av)=af(v) (v,v' 은 V의 원소, a는 임의의 주어진 체의 원소)

를 만족하면, 'f는 선형이다(linear하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 선형사상(linear mapping,linear function, linear transformation)이라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 f(v)=f(v') 이면 v=v' 이다.

를 만족하면 'f는 단사이다(injective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 단사함수(injection,monomorphism)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 임의의 W의 원소 w에 대하여 어떤 V의 원소 v가 존재하여 f(v)=w 이다.

를 만족하면 'f는 전사이다(surjective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 전사함수(surjection,epimorphism)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가 전사이면서 동시에 단사이면 'f는 전단사이다(bijective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 전단사함수(bijection)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 선형사상(linear mapping) f:V->W 가 전단사이면 f를 동형사상(isomorphism)이라고 부른다.

이제 isomorphic하다는 것을 정의할 수 있다. '어떤 벡터공간 V와 W가 isomorphic하다(동형이다.)'라는 것은 V에서 W로의 isomorphism이 존재한다는 것을 의미한다. isomorphism의 정의를(즉, 단사와 전사, 전단사의 의미를) 잘 곱씹어보면, isomorphic한 벡터공간 V와 W는 모든 원소가 서로 단 하나의 짝만 가지고 대응된다는 것을 알 수 있다. 즉, V는 W의 원소로(그리고 W의 원소는 V의 원소로) 유일하게 대응된다. 그리고 이를 단지 '이름 바꾸기'라고 부르는 것도 무관할 것이다. 우리는 V의 원소 v에 대응되는 W의 원소 w를(W의 원소 w에 대응되는 V의 원소 v를) 언제나 어렵지 않게 찾을 수 있다. 그러므로 아주 급진적으로 우리는 'isomorphic하다.'는 것을 '사실상 같다.'고 까지 표현할 수 있겠다.

어째서 사실상 같다고 말할 수 있는가? 그것은 덧셈과 상수곱의 구조에 대해서 V와 W가 이름만 다를 뿐 사실상 같기때문이다. 곧, f가 선형이므로 벡터의 합의 이름 바꾸기와 벡터의 이름 바꾸기의 합이 서로 같다.(스칼라배에 대해서도 마찬가지이다.) 그리고 이제 왜 isomorphic하다는 것을 정의할때 선형이라는 조건이 필요한 지 알 수 있다.

열심히 그림까지 손으로 그렸는데 스캔이 안되다니 세상에...... 다들 꼭 한번 그림을 통해서 느낌을 분명히 하길 바란다. 정의(와 정리)를 이해하는데에 그림은 언제나 큰 도움이 된다.