veritas liberabit vos

※ 혹시나 이 글을 읽는 학생이라면 아래 내용을 반드시 읽고 풀이 및 해설을 보도록 합니다.

모든 풀이의 처음에는 문제가 제시되어 있습니다. 혹시라도 한번 풀어봤더라도, 다시 한 번 살펴보면서 문제를 어떻게 풀 수 있을지 고민해보라는 뜻입니다.

풀이 및 해설은 문제제시 -> 분류 -> 선수개념 -> 문제 분해 -> 설명 -> 고민해볼 거리 의 순서로 제시됩니다.

단순히 풀이 방법을 아는 것을 넘어 이것을 바탕으로 어떻게 공부할 수 있을지 생각해볼 학생이라면, 제시된 순서를 따라 천천히 읽기 바랍니다. 읽는 과정에서 반드시 종이와 펜을 이용해 필요한 부분이 있다면 직접 적어보며 생각하도록 합시다.

분류는 블로그 주인의 입맛에 맞게 임의로 설정된 것이며, 선수개념도 마찬가지입니다. 그러나, 선수개념의 경우 보자마자 어떤 내용인지 머릿속에 떠오르는 것이 부족하다면 우선은 해당 부분의 교과서 및 참고서 내용을 보고 오도록 합니다.

문제 분해의 경우 문제를 읽으며 이것을 어떻게 이해해야하는가를 문제의 순서에 맞게 제시한 부분입니다. 이것은 가장 중요한 훈련이며, 사실상 문제를 풀지 못하는 경우의 80퍼센트 가량이 이것을 제대로 해내지 못한다는 것에서 기인합니다. 중간 중간에 적힌 (왜?)는 왜인지 반드시 생각해보라는 뜻입니다.

분류 : 특정 조건을 만족시키는 함수

선수개념 : 삼차함수의 개형, 미분계수의 기하학적 의미, 다항함수의 미분법, 다항식과 부등식

문제 분해

● 삼차함수 f(x)

- 문제에서 대상이 되는 함수는 삼차함수로, 머릿속에 다양한 삼차함수의 개형들을 떠올린다.

(그림판으로 그려서 질이 상당히 떨어진다.)

개형을 떠올릴 때에는 대략적이고 빠르게 떠올리는 것이 중요하다. 이것은 앞으로 문제를 풀 때 기본적인 직관의 바탕이 된다. 한개만 떠올려도 무방하나, a가 음수인 경우도 있다는 것, 그리고 증가함수의 형태일 수도 있다는 것을 한번은 생각하고 가야한다.

● f(2)의 최솟값

- 최대최소 문제의 경우, 다양한 '가능성'을 살펴보고 주어진 조건에 맞는 것이 무엇인지 알아내는 것이 관건이다. 곧, 주어진 조건을 만족시키는 삼차함수가 분명하게 하나로 결정되지 않을 수도 있다는 것을 명심하도록 한다.

● (가) f(x)의 최고차항의 계수는 1이다.

- 처음에 떠올렸던 개형에서 a가 음수인 개형은 생각하지 않아도 된다. 또한, 식으로 세운다면 의 형태로 쓸 수 있다는 것을 파악하고 간다.

● (나) 

- 이쯤되면 머릿속으로 생각한 개형이 생각만으로 구체화되기 어렵다. 이럴 때에는 종이에 적어서 파악하도록 한다. 이때, 식으로 무엇인가를 하려고 하기 보다는 항상 개형을 먼저 떠올리고 해석의 여지가 부족하다고 여겨질때 식을 도입하도록 한다.

- f(0)은 0에서의 함숫값, f'(0)은 0에서의 미분계수이므로 그래프의 입장에서는 'x=0에서 y값과 접선의 기울기가 같다.'고 해석할 수 있다. 미분계수나 접선의 기울기를 그래프의 입장에서 해석할 때에 가장 먼저는 구체적인 수치보다 부호가 중요하다. 이를 반영하여 해석하면 다음과 같은 경우가 나오게 된다.

당연히 이것들만 나오는 것은 아니고, 사실 첫번째 것만 생각하려고 해봐도 이미 결론이 나온다. 그것은 '이렇게 생각하는 것은 뭔가 좀 아닌 것 같다.'이다. 1의 경우, x=0에서 y의 값이 양수인 경우인데, 이때, f'(0)도 마찬가지로 양수여야 하므로 해당 점에서 증가상태에 있어야 한다. 이때, 가능한 증가상태의 모습은 두 가지가 있겠고... 애초에 개형 자체가 크게 다른 증가상태라면 2의 모습일 것이다. y의 값이 음수라면 3과 같은 형태로 나올 것이다. 이 설명이 잘 이해가 되지 않는다면 이 문제의 풀이가 끝나고 반드시 고민해보도록 한다. 허나, 이 문제에선 '이렇게 풀다가는 풀 수 없겠다.'는 정도의 정보만 얻으면 충분하다. 여기서 갈림길이 두 가지로 갈린다.

- 첫번째 갈림길 : 식을 이용해서 풀어보자. (가)조건에 의해 라고 식을 쓸 수 있다는 것은 머릿속에 있을 것이다.(없다면 다음부터는 이러한 내용을 머리속에 담아갈 수 있도록 연습해야한다. '앞에 나왔던 이야기를 기억하지 못한다.'는 것은 문제를 잘 풀지 못하는 학생들의 전형적인 특징이다. 적어도 '앞에 최고차항의 계수에 관련된 이야기가 있었다.'는 것 정도는 기억해야한다.) 이제 (나)를 이용하면, 를 얻는다. (왜?) 이것만으로는 더 해석할 여지가 없어 보인다.

- 두번째 갈림길 : 잠깐 (나)를 해석하는 것을 멈춰두고 (다)를 본다.

● (다) 인 모든 실수 x에 대하여 가 성립한다.

- 함수 문제에서는 가장 먼저 '그래프의 개형'과 같은 기하학적 의미를 생각하도록 한다. 해석하려고 할 때, 앞의 조건도 난감하겠지만 라는 말의 의미가 잘 해석되지 않을 것이다. 도함수와 원래 함수를 동시에 그래프에 그리는 것은 배우지도 않았을 뿐더러 상당히 어려운 과정이기 때문이다. 따라서 여기서 다시 갈림길이 두 가지로 갈린다.

- 첫번째 갈림길 : 위에서 첫번째 갈림길을 선택한 학생은 자연스럽게 이 길로 와야한다. 곧, 식을 이용하여 이를 해석하도록 한다. 또한, 여기서 식을 이용하여 해석하겠다는 결심이 섰다면 다시 (나)로 올라가 이를 식을 이용하여 해석하겠다는 생각이 들어야 한다. 그러면 결과적으로 라는 식을 얻는다. 두 다항식(게다가 계수도 관계되어 있다.)을 부등식을 이용하여 비교하는 것은 직관적(그래프의 개형)으로는 어려운 일이다. 따라서 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하면(최고차항의 계수가 양수가 되도록) 라는 식을 얻는다. 이때, a와 b가 임의의 실수였으므로 는 원점을 지나는 삼차함수이다. 그러므로 (다)조건은  인 모든 실수 x에 대하여 '원점을 지나는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수가 x축과 만나거나 위에 있다.'는 말로 해석될 수 있다.

원점을 지나는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수라고 하면 다음과 같은 모습을 가장 먼저 떠올릴 것이다.

하지만 둘 다 적합하지 않다.(왜?) 그러므로 결과적으로 '0의 좌우에서 부호가 바뀌어서는 안된다.'는 사실을 얻는다. 따라서 는 원점에서 중근을 가져야 한다. (아마 이 사실과 그에 따른 결론을 얻는 과정이 가장 어려울 것이다. 왜 저 두 그림이 적합하지 않은지 고민하는 과정이 그래서 중요한 것이다.) 그러므로 가 성립한다.(중근이므로 인수로 x를 '두개' 가져야 한다.)

더 나아가 중근일 뿐만 아니라 '극소여야 한다.'는 것도 얻을 수 있다.(왜?) 그러므로 개형은 다음과 같은 형태여야 한다.

이때, 나머지 한 근은 3-a이므로(왜?) (0이면 안된다는 것에 주목하라.)가 성립해야 한다는 것도 덤으로 얻을 수 있다. 더불어 0과 3-a 사이에서는 항상 0보다 크므로, 0부터 x가 점점 작아질 때, 처음으로 0이하가 되는 x값이 3-a라는 사실도 알 수 있다. 그러므로 곧, a가 4이상이라는 사실을 얻는다.(이 과정을 거칠 때, a의 값을 적당히 바꿔가면서 상황이 어떻게 바뀌어가는지 반드시 확인해보도록 한다.) 이제 (다)에서는 더 얻을 것이 없다. 어차피 a값이 분명한 것으로 확정되지 않아도 문제를 풀 수 있으며, 실제로 a값은 분명히 결정되지 않을 것이다.(왜?)

- 두번째 갈림길 : 식을 도입하기 전에, 에서 모든 항을 좌변으로 이항했다고 생각하면, f(x)-f'(x)가 삼차함수이므로 첫번째 갈림길과 같은 길을 자연스레 선택해야한다는 것을 얻는다.

이제, f(2)를 구해보면, 라는 사실을 얻는다. 자, 언제 f(2)가 최소일까?

고민해볼 거리

1. 머릿속으로 개형을 충분히 상상하여 상황을 개괄할 수 있는가?(머릿속으로 어렵다면 종이에 그래프를 그려서)

2. 필요에 따라 대수식을 이용하여 상황을 이해할 수 있는가?

3. 'A가 성립한다면 어떻게 될까?'(본 문제에서라면 개형이

와 같다면 어떻게 될까? 와 같은 질문)와 같은 가설적이고 실험적인 사고가 가능한가?

추가적으로, 시간이 남는다면 (나)조건을 만족시키기 위해서는 f(x)의 개형이 어떻게 나타나야 하는가를 고민해보기 바란다.

추가적인 질문 사항이나 풀어줬으면 하는 문제가 있다면 댓글로 남겨주시길.

평화.