veritas liberabit vos

아직 다 못썼지만 아까워서 포스팅합니다.

※ 앞서서 하고 싶은 말은, 이 글에 적힌 내용과 용어의 뜻은 고등학교 수준에 맞춰 작성된 것이며, 필자의 수준도 관련된 학부 강의를 몇개 보고 몇몇 자료를 찾아본 수준에 지나지 않다는 것입니다. 그러니 혹시 이해가 잘 가지 않거나 틀린 부분이 있다면 지적을 해주실 경우 추가적인 답변과 수정을 할 것입니다. 이런 지적이 '잘 모르겠어요.'수준에 머무르지는 않기를 바랍니다. 적극적으로 다른 정보들을 찾아본 뒤에 지적을 해준다면 저로서도 좋을 것 같고, 그대들에게도 큰 도움이 될 것입니다. Watson & Mason에 따르면 '학습이라는 것은 주의가 구조적으로 변화하는 것을 경험하는 과정'이라고 합니다. 충분한 호기심과 의문을 갖고 그대들의 주의를 구조적으로 바꾸시길 바라봅니다.

※ 특별히 이번 포스팅은 좀 깁니다. 읽는데 아마 시간이 꽤나 걸리실겁니다. 하지만 조금 시간을 들여 찬찬히 읽으신다면, 특별히 종이와 펜을 이용하여 고민해보며 읽으신다면, 읽으신 시간의 몇 배의 보상이 있을 것입니다. 다시는 통계부분 관련하여 인터넷에 검색할 일이 없을 것이라고 확신합니다.

언제나 그렇듯이 논의의 출발은 관련된 용어를 명확히 하는 것이다. 먼저 확률변수란, '확률이 정해져있는 변수'를 가리킨다. 물론 변수라는 것이 언제나 수만을 가리키는 것은 아니지만, 특별히 여기서는 수(number)를 가리키는 것이라는 것을 유념한다. 곧, 우리는 이 값도 될 수 있고 저 값도 될 수 있는 문자를 다루되, 그 '될 수 있는 확률'이 정해져있는 경우에 주목하고자 한다.(예컨대, 임의의 실수를 나타내고자 사용되는 변수 x는 확률과는 관계가 없다. 그냥 이 값도 될 수 있고 저 값도 될 수 있다는 가능성이 있을 뿐이다.) 특별히 확률변수를 나타낼 때는 일반적인 변수를 나타내기 위해 소문자 엑스(x)를 사용하는 것에 비교하여 대문자 엑스(X)를 사용하여 나타낸다. 여기서 확률이 정해져 있다는 것을 협의로 생각한다면, X=1일 확률이 정해져있다, 곧, P(X=1)가 정해져있다는 말로만 이해할 가능성이 크다. 그러나 이것은 X가 이산확률변수인 경우에만 해당하는 것이며, 연속확률변수의 경우에는 X=1일 '밀도'가 정해져있다는 차원에서 확률이 정해져 있다는 것이다.(밀도가 쌓이면, 곧, 적분되면, 질량이 될 것이다. 이제 '확률밀도함수'와 '확률질량함수'가 갖는 의미의 차이가 좀 더 와닿을 것이다.)

먼저 정규분포에 대하여 이야기해보도록 하자.

(출처 : http://www.seehint.com/hint.asp?no=12352)

정규분포는 연속확률분포로, 자연과 사회의 많은 확률분포가 정규분포를 따른다는 것이 알려져 있다. 또한, 이항분포의 경우도 n이 충분히 크다면 정규분포에 근사하는 등, 많은 분포가 정규분포와 뗄레야 뗄 수 없는 성질을 갖는다. 그렇다면 무엇이 이 정규분포를 이해하는 데에 핵심일까?

(출처 : http://secom.hanbat.ac.kr/xe/)

혹시 여러분은 정규분포에 관련된 단원을 담은 책의 맨 뒤를 펴본 적이 있는가? 그리고 펴봤다면 혹시 이런 표를 본 적이 있는가? 본 적이 없다면 다음 표는 어떠한가?

흔히 정규분포를 이루는 확률분포 관련 문제의 경우 표준화라는 작업을 통해 이루어진다. 위의 두 표는 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z에 대해 여러 확률값들을 주고 있다. 그리고 우리는 어떤 정규분포를 따르는 확률변수 X를 표준화하여 위의 표를 이용하여 확률을 구한다. 우리는 어떻게 표준화라는 작업을 통해 확률을 구할 수 있는 것인가?

혹시 이 그래프를 유심히 본 사람이라면 x축에 적혀있는 문자가 신기하게 보였을지도 모르겠다. μ의 경우 그리스 문자로 '뮤'라고 읽으며 m, 즉, 평균을 가리킨다. 위 그래프가 말하고 있는 것은, 정규분포는 평균으로부터 표준편차의 몇 배 만큼 떨어져 있느냐가 확률을 모두 결정한다는 것이다.(그냥 정규분포의 정의가 그렇다는 것으로 받아들이자. 치환적분을 이용하면 증명할 수 있다는 것만 말하도록 하겠다.) 즉, 임의의 정규분포 N(m,σ^2)를 따르는 확률변수 X에 대하여 다음과 같은 식이 성립한다. 볼 때 꼭 위의 그래프를 유념하면서 보도록 하여라! 제발!

이렇게 정규분포의 경우 평균으로부터 표준편차의 몇 배 만큼 떨어져있느냐에 따라서'만' 확률이 결정된다. 그러므로 어떤 정규분포가 주어지더라도 확률을 다 계산할 수 있는 것이다. 미리 구해놓은 표를 이용하여! 문제를 하나 풀면서 더 설명하도록 하겠다.

풀이 : 과자 1봉지의 무게를 확률변수 X를 통해 표현하도록 하자. 그러면 X는 N(75,4)를 따른다. 이제 76과 78이 75로부터 표준편차의 몇 배 만큼 떨어져 있는지 생각해보자. 76은 75보다 1 크다. 이때, 표준편차가 2 이므로 표준편차의 절반이 된다. 78은 75보다 3 크다. 이때, 표준편차가 2 이므로 표준편차의 1.5배가 된다. 그러므로 구하고자 하는 확률은

가 된다. 이제 오른쪽 표준정규분포표를 보자. 표준정규분포는 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포이다. 그러므로, 표준정규분포의 입장에서 는 이다. 그리고 위에서 말했듯이, 어느 정규분포든지 확률은 오직 평균으로부터 표준편차의 몇 배 만큼 떨어져있느냐에 의해 결정된다. 즉, 가 성립한다.(이것이 우리가 흔히 하고 있는 표준화의 의미이다.)

이렇듯 어떤 평균과 표준편차를 가졌든지 간에 우리가 미리 표준정규분포에 대하여 조사해놓는다면, 어떤 경우에서도 쉽게 확률을 구할 수 있다. 그래서 교과서 뒤에 표준정규분포표가 있는 것이다. 더 잘 설명하고 싶은데, 글로 설명하는 것은 한계가 있다. 필요하다면 전화던 동영상이던 설명을 해주고 싶다! 잘 모르겠으면 제발 댓글을 달아주길 바란다.

이제 특정한 '수치'에 집중하여 자료 수집을 시작했다고 생각해보자. 하나 상상해보면, '대한민국 사람 전체의 발 사이즈'를 조사하는 경우를 살펴볼 수 있겠다.(이때, 발 사이즈는 5mm단위로 측정한다고 하자. 그러면 충분히 분명하게 수치화된 정보를 얻을 수 있다.) 이 경우 나의 발 사이즈는 260mm이고, 지금 이 글을 보고 있는 당신의 발 사이즈도 일정한 값, 편의상 250mm라고 하자,이고, 하승진의 발 사이즈는 350mm이다. 이걸 쭉 모아 정리해보면 '아무나 한 명 뽑았을 때' 그 사람의 발 사이즈가 몇인지 말할 수 있을 것이다. 내가 뽑힌다면 260mm라고 말할 수 있을 것이고, 당신이 뽑힌다면 250mm라고 할 것이고. 그럼 이제 사람들을 발 사이즈로 분류했다고 생각해보자. 편의상 100만명이 260mm라고 해보자.(대한민국 전체는 5000만명이라고 가정하고.) 이때, 전체 자료에서 누군가의 자료를 뽑으면, 항상 그 사람에 대응하는 발 사이즈를 하나 찾을 수 있다. 예컨대, 내가 뽑힌다면 260mm를 대응시킬 수 있을 것이다. 그러면 우리가 진실로 '아무나' 뽑는다면, 어떤 사람을 뽑았더니 발 사이즈가 260mm일 확률은 100만/5000만, 즉, 1/5일 것이다. 아무나 뽑는다는 임의성은 누가 뽑힐 가능성이 더 높거나 낮지 않다는 것을 의미하고, 따라서 모두 똑같이 뽑힐 확률이 1/5000만일 것이기 때문이다. 그러면 이제 대한민국 사람 전체의 발 사이즈를 확률변수 X를 이용하여 표현할 수 있다. X라고 적힌 속에는 사실 5000만개의 수치가(물룐 겹치는 것도 있다.) 담겨져 있고, 단지 각 수치마다의 확률이 결정되어 있을 뿐이다. 아까 말한 것을 식으로 표현하면 P(X=260)=1/5라고 표현할 수 있을 것이다. 이렇게 특정 조사(혹은 측정)의 대상이 되는 결과(수치)를 모두 모은 집합(혹은 집단)을 모집단이라고 부른다. 다시 말하지만 '특정 조사에서 얻은 수치를 모두 모은 것'을 모집단이라고 한다. 그러므로 모집단은 고정적인 개념이 아니며 모여있는 것은 수치라는 것에 유의한다.

지금까지는 모집단의 값 하나하나만을 생각했다면 이번에는 여러 값을 임의로 동시에 뽑는다고 생각해보자. 편의상 10명의 값을 뽑는다고 해보자.(10대신 임의의 자연수 n을 선택하여도 같은 결론에 도달할 수 있다. 그리고 글을 읽는 여러분은 결국 그 단계까지 나아갈 수 있어야 한다.) 위에서 말한 것과 마찬가지로 다양한 값들이 나올 수 있다. 아까처럼 260mm가 나올 수도 있고, 270mm도 나올 수 있고 어쩌면 300mm가 나올 수도 있다. 중요한 것은 뽑힌 10개의 값이 각자의 확률을 갖는다는 것이다. 예컨대, 260mm가 나올 확률은 1/5였을 것이다. 그럼 10개의 값들이 모두 260mm일 확률은 얼마일까? 이는 확률이 1/5이고 시행횟수가 10번인 이항분포에서 1/5에 해당하는 사건만 10번 일어나는 것과 같다.(왜?) 따라서 확률은 이 된다. 이와 같이 10개의 값이 무엇이 나올지도 확률이 정해져있다. 여기서 주목하고 싶은 것은 특별히 뽑은 10개의 값의 평균이다. 왜 여기서 평균에 주목하는지는 후술하도록 하겠다. 각설하고, 260mm만 10개가 나오던지 250mm 1개, 270mm 1개, 260mm 8개가 나오던지간에 평균은 260mm로 같다는 것에 주목하라. 이렇게 가능한 10개의 조합을 모두 생각해본다면, 결국 10개의 평균은 260mm가 나올 수도, 270mm가 나올 수도 있고, 그 외에 다양한 값들이 나올 수 있다는 것을 알 수 있다. 더 나아가 각 조합의 확률이 정해져 있으므로 평균이 어떤 값이 나올 확률도 마찬가지로 정해져 있다는 것을 알 수 있다. 즉, 10개만 임의로 뽑아본 결과의 평균도 마찬가지로 확률변수다. 우리가 모집단의 임의의 값을 나타내기 위해 X를 사용했기 때문에 이렇게 10개만 뽑아본 결과의 평균은 확률변수지만 헷갈리지 않게 하기 위하여 위에 작대기를 그어 라고 나타낸다. 이제 P(X=260)과 P(=260)이라는 식이 가리키는 의미의 차이를 보다 분명히 알 수 있을 것이다. 이렇게 모집단이 정해져 있을 때, 해당 모집단에서 몇 개의 값을 뽑아 이들의 평균의 가능한 '조합'을 모두 모아 놓은 집단을 표본집단이라고 부르고, 몇 개의 값을 뽑았는지를 표본집단의 크기라고 부른다. 그리고 각각의 조합에서 평균을 생각하여 새롭게 얻어낸 '확률변수'를 '표본평균'이라고 부른다. 예컨대, 위의 사례라면 10이 바로 해당 표본집단의 크기가 되고, 10명의 발 사이즈를 모은 집합, 예컨대, {260mm, 260mm, ..., 260mm}가 표본집단, 이렇게 가능한 모든 표본집단에서 평균을 계산하여 새롭게 얻어낸 확률변수를 표본평균이라고 부른다는 것이다.

(표본집단에 대한 설명을 보충하도록 하겠다. 예컨대 주사위를 던졌을때 나오는 값을 처음 조사한다고 해보자. 그럴 경우 모집단은 {1,2,3,4,5,6}이 된다. 이때, 모집단에서 임의로 두 개의 원소를 뽑는다고 생각해보자. 그러면 가능한 경우는 {1,1}, {1,2}, {1,3}, ... , {6,6} 의 36가지 경우가 있다. 이때 각 경우의 평균을 구해보면 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 1.5, 2, ..., 5.5, 6 이런 식으로 구할 수 있을 것이다. 그러면, 표본평균이 1일 확률은, 표본집단에서 {1,1}을 뽑을 확률과 같으므로 1/36이 되고, 표본평균이 1.5일 확률은 {1,2}, {2,1}을 확률과 같으므로 2/36이 되고,... 와 같이 생각할 수 있다.)

놀라운 사실은 표본평균의 분포가 아주 신비한 성질을 갖는다는 것이다.

1. 만약 모집단이 N(m,σ^2)을 따르고 있었다면, 크기가 n이 되게끔 표본집단을 생각한다고 할 때, 표본평균은 '항상' N(m,σ^2/n)을 따른다.

2. 만약 모집단이 정규분포가 아니더라도, 평균이 m이고 분산이 σ^2이고, 표본의 크기 n이 충분히 크다면 표본평균은 N(m,σ^2/n)에 가까워진다.

이것이 바로 이른바 '중심극한정리'인데, 그 증명이 몹시 어려워 고등학교 교과서에서는 증명을 다루지 않는다. 그리고 부끄럽게도, 필자도 완전한 증명을 배우지는 못하였다. 하지만 분명한 것은 수학적으로 증명이 되어 있다는 것이다. 그러니 여러분의 정신건강을 위해서도 그냥 '받아들이기' 바란다.(참고로 2의 증명이 훨씬 어렵다. 조건으로 '표본의 크기 n이 충분히 크다면'이 붙어있다는 것에 주목하라. 애초에 1번과 2번이 왜 나뉘어 있는지 모른다면 반성하기 바란다. 그리고 다시 2번 명제를 보면 놀라움을 금할 수 없다. 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도 표본평균의 분포는 정규분포에 근사한다는 것이다! 저기서 n이 충분히 크다는 것은 n이 15이상 혹은 n이 20이상 혹은 nm이 얼마 이상 등 다양한 기준이 있는데, 사실상 교과서나 문제들에서 다루어지는 정도라면 충분히 크다는 것은 받아들이도록 하자. 왜냐하면, 이것은 주관적으로 정해지는 것이기 때문이다. n이 점점 커질 수록 정규분포와 가까워 지는 것은 맞는데, 어느정도면 '충분히' 가까운지를 판단하는 것은 주관적일 수 밖에 없다.)

기회가 된다면 마무리짓도록 하겠습니다. 이정도만으로도 충분히 도움이 되리라 생각합니다.

※ 혹시나 이 글을 읽는 학생이라면 아래 내용을 반드시 읽고 풀이 및 해설을 보도록 합니다.

모든 풀이의 처음에는 문제가 제시되어 있습니다. 혹시라도 한번 풀어봤더라도, 다시 한 번 살펴보면서 문제를 어떻게 풀 수 있을지 고민해보라는 뜻입니다.

풀이 및 해설은 문제제시 -> 분류 -> 선수개념 -> 문제 분해 -> 설명 -> 고민해볼 거리 의 순서로 제시됩니다.

단순히 풀이 방법을 아는 것을 넘어 이것을 바탕으로 어떻게 공부할 수 있을지 생각해볼 학생이라면, 제시된 순서를 따라 천천히 읽기 바랍니다. 읽는 과정에서 반드시 종이와 펜을 이용해 필요한 부분이 있다면 직접 적어보며 생각하도록 합시다.

분류는 블로그 주인의 입맛에 맞게 임의로 설정된 것이며, 선수개념도 마찬가지입니다. 그러나, 선수개념의 경우 보자마자 어떤 내용인지 머릿속에 떠오르는 것이 부족하다면 우선은 해당 부분의 교과서 및 참고서 내용을 보고 오도록 합니다.

문제 분해의 경우 문제를 읽으며 이것을 어떻게 이해해야하는가를 문제의 순서에 맞게 제시한 부분입니다. 이것은 가장 중요한 훈련이며, 사실상 문제를 풀지 못하는 경우의 80퍼센트 가량이 이것을 제대로 해내지 못한다는 것에서 기인합니다. 중간 중간에 적힌 (왜?)는 왜인지 반드시 생각해보라는 뜻입니다.

분류 : 특정 조건을 만족시키는 함수

선수개념 : 다항함수의 미분법, 곱의 미분법, 연립 방정식

문제 분해

● 다항함수 f(x) 와 g(x)

- 문제에서 대상이 되는 함수는 다항함수라는 사실을 머릿속에 저장해둔다.(미분가능성, 연속성, 차수, 근, 인수분해 등)

● 모든 실수 x에 대하여 

- g(x)의 차수는 f(x)의 차수보다 3크다.(우선은 직관적으로 조건들을 이해하면서 간다. 식이 있다는 것은 반드시 기억.)

● g(x)가 x=1에서 극솟값 24

- 우선은 극솟값이므로 미분계수가 0, 곧, g'(1)=0이라는 사실을 안다.(g(x)가 다항함수이므로 미분가능이다.)

- 를 곱의 미분법을 이용하여 미분하면 이야기를 뭔가 할 수 있겠다는 생각이 든다.(그러나 당장은 쓸 데가 없으므로 가능성만 기억해둔다.)

- 극솟값이 구체적으로 24이므로 g(1)=24라는 식을 얻는다. 마찬가지로 를 이용하면 더 얻어낼 수 있다는 생각은 드나, 당장 쓸모가 있을지는 확신할 수 없으므로 기억만 해둔다.

● f(1)-f'(1)의 값을 구하시오.

- 주어진 조건은 g(x)에 관련된 것인데, 구하라는 것은 f(x)에 관한 것이다. 따라서 를 다리로 이용해야겠다는 것이 확실해진다. 이제 기억해둔 것을 이용하여 몇 가지 사실을 알아낸다.

- 이므로 임을 얻는다.

- 이므로 임을 얻는다. 미지수(f(1) 과 f'(1))은 2개이고 얻은 식은 2개이므로 이를 연립하면 두 미지수를 구할 수 있다. 곧, f(1)과 f'(1)을 구할 수 있고 이를 이용하면 f(1)-f'(1)도 구할 수 있다.

고민해볼 거리

1. g(x)의 극솟값 이야기에서 곱의 미분법이 사용될 것이 예측되는가?

2. 조건과 구하는 것 사이의 연결고리를 찾을 수 있는가?

추가적으로, 미분가능성은 미분을 하기 전에 먼저 생각해야한다.(본 문제에서는 다항함수와 그의 곱에 대한 이야기이므로 미분가능성이 보장된다.) 연립방정식을 푼다는 것은 식 하나를 이용하여 문자(미지수) 하나를 없앤다는 느낌이라는 것을 기억해둔다.

추가적인 질문 사항이나 풀어줬으면 하는 문제가 있다면 댓글로 남겨주시길.

평화.

※ 혹시나 이 글을 읽는 학생이라면 아래 내용을 반드시 읽고 풀이 및 해설을 보도록 합니다.

모든 풀이의 처음에는 문제가 제시되어 있습니다. 혹시라도 한번 풀어봤더라도, 다시 한 번 살펴보면서 문제를 어떻게 풀 수 있을지 고민해보라는 뜻입니다.

풀이 및 해설은 문제제시 -> 분류 -> 선수개념 -> 문제 분해 -> 설명 -> 고민해볼 거리 의 순서로 제시됩니다.

단순히 풀이 방법을 아는 것을 넘어 이것을 바탕으로 어떻게 공부할 수 있을지 생각해볼 학생이라면, 제시된 순서를 따라 천천히 읽기 바랍니다. 읽는 과정에서 반드시 종이와 펜을 이용해 필요한 부분이 있다면 직접 적어보며 생각하도록 합시다.

분류는 블로그 주인의 입맛에 맞게 임의로 설정된 것이며, 선수개념도 마찬가지입니다. 그러나, 선수개념의 경우 보자마자 어떤 내용인지 머릿속에 떠오르는 것이 부족하다면 우선은 해당 부분의 교과서 및 참고서 내용을 보고 오도록 합니다.

문제 분해의 경우 문제를 읽으며 이것을 어떻게 이해해야하는가를 문제의 순서에 맞게 제시한 부분입니다. 이것은 가장 중요한 훈련이며, 사실상 문제를 풀지 못하는 경우의 80퍼센트 가량이 이것을 제대로 해내지 못한다는 것에서 기인합니다. 중간 중간에 적힌 (왜?)는 왜인지 반드시 생각해보라는 뜻입니다.

분류 : 특정 조건을 만족시키는 함수

선수개념 : 삼차함수의 개형, 미분계수의 기하학적 의미, 다항함수의 미분법, 다항식과 부등식

문제 분해

● 삼차함수 f(x)

- 문제에서 대상이 되는 함수는 삼차함수로, 머릿속에 다양한 삼차함수의 개형들을 떠올린다.

(그림판으로 그려서 질이 상당히 떨어진다.)

개형을 떠올릴 때에는 대략적이고 빠르게 떠올리는 것이 중요하다. 이것은 앞으로 문제를 풀 때 기본적인 직관의 바탕이 된다. 한개만 떠올려도 무방하나, a가 음수인 경우도 있다는 것, 그리고 증가함수의 형태일 수도 있다는 것을 한번은 생각하고 가야한다.

● f(2)의 최솟값

- 최대최소 문제의 경우, 다양한 '가능성'을 살펴보고 주어진 조건에 맞는 것이 무엇인지 알아내는 것이 관건이다. 곧, 주어진 조건을 만족시키는 삼차함수가 분명하게 하나로 결정되지 않을 수도 있다는 것을 명심하도록 한다.

● (가) f(x)의 최고차항의 계수는 1이다.

- 처음에 떠올렸던 개형에서 a가 음수인 개형은 생각하지 않아도 된다. 또한, 식으로 세운다면 의 형태로 쓸 수 있다는 것을 파악하고 간다.

● (나) 

- 이쯤되면 머릿속으로 생각한 개형이 생각만으로 구체화되기 어렵다. 이럴 때에는 종이에 적어서 파악하도록 한다. 이때, 식으로 무엇인가를 하려고 하기 보다는 항상 개형을 먼저 떠올리고 해석의 여지가 부족하다고 여겨질때 식을 도입하도록 한다.

- f(0)은 0에서의 함숫값, f'(0)은 0에서의 미분계수이므로 그래프의 입장에서는 'x=0에서 y값과 접선의 기울기가 같다.'고 해석할 수 있다. 미분계수나 접선의 기울기를 그래프의 입장에서 해석할 때에 가장 먼저는 구체적인 수치보다 부호가 중요하다. 이를 반영하여 해석하면 다음과 같은 경우가 나오게 된다.

당연히 이것들만 나오는 것은 아니고, 사실 첫번째 것만 생각하려고 해봐도 이미 결론이 나온다. 그것은 '이렇게 생각하는 것은 뭔가 좀 아닌 것 같다.'이다. 1의 경우, x=0에서 y의 값이 양수인 경우인데, 이때, f'(0)도 마찬가지로 양수여야 하므로 해당 점에서 증가상태에 있어야 한다. 이때, 가능한 증가상태의 모습은 두 가지가 있겠고... 애초에 개형 자체가 크게 다른 증가상태라면 2의 모습일 것이다. y의 값이 음수라면 3과 같은 형태로 나올 것이다. 이 설명이 잘 이해가 되지 않는다면 이 문제의 풀이가 끝나고 반드시 고민해보도록 한다. 허나, 이 문제에선 '이렇게 풀다가는 풀 수 없겠다.'는 정도의 정보만 얻으면 충분하다. 여기서 갈림길이 두 가지로 갈린다.

- 첫번째 갈림길 : 식을 이용해서 풀어보자. (가)조건에 의해 라고 식을 쓸 수 있다는 것은 머릿속에 있을 것이다.(없다면 다음부터는 이러한 내용을 머리속에 담아갈 수 있도록 연습해야한다. '앞에 나왔던 이야기를 기억하지 못한다.'는 것은 문제를 잘 풀지 못하는 학생들의 전형적인 특징이다. 적어도 '앞에 최고차항의 계수에 관련된 이야기가 있었다.'는 것 정도는 기억해야한다.) 이제 (나)를 이용하면, 를 얻는다. (왜?) 이것만으로는 더 해석할 여지가 없어 보인다.

- 두번째 갈림길 : 잠깐 (나)를 해석하는 것을 멈춰두고 (다)를 본다.

● (다) 인 모든 실수 x에 대하여 가 성립한다.

- 함수 문제에서는 가장 먼저 '그래프의 개형'과 같은 기하학적 의미를 생각하도록 한다. 해석하려고 할 때, 앞의 조건도 난감하겠지만 라는 말의 의미가 잘 해석되지 않을 것이다. 도함수와 원래 함수를 동시에 그래프에 그리는 것은 배우지도 않았을 뿐더러 상당히 어려운 과정이기 때문이다. 따라서 여기서 다시 갈림길이 두 가지로 갈린다.

- 첫번째 갈림길 : 위에서 첫번째 갈림길을 선택한 학생은 자연스럽게 이 길로 와야한다. 곧, 식을 이용하여 이를 해석하도록 한다. 또한, 여기서 식을 이용하여 해석하겠다는 결심이 섰다면 다시 (나)로 올라가 이를 식을 이용하여 해석하겠다는 생각이 들어야 한다. 그러면 결과적으로 라는 식을 얻는다. 두 다항식(게다가 계수도 관계되어 있다.)을 부등식을 이용하여 비교하는 것은 직관적(그래프의 개형)으로는 어려운 일이다. 따라서 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하면(최고차항의 계수가 양수가 되도록) 라는 식을 얻는다. 이때, a와 b가 임의의 실수였으므로 는 원점을 지나는 삼차함수이다. 그러므로 (다)조건은  인 모든 실수 x에 대하여 '원점을 지나는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수가 x축과 만나거나 위에 있다.'는 말로 해석될 수 있다.

원점을 지나는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수라고 하면 다음과 같은 모습을 가장 먼저 떠올릴 것이다.

하지만 둘 다 적합하지 않다.(왜?) 그러므로 결과적으로 '0의 좌우에서 부호가 바뀌어서는 안된다.'는 사실을 얻는다. 따라서 는 원점에서 중근을 가져야 한다. (아마 이 사실과 그에 따른 결론을 얻는 과정이 가장 어려울 것이다. 왜 저 두 그림이 적합하지 않은지 고민하는 과정이 그래서 중요한 것이다.) 그러므로 가 성립한다.(중근이므로 인수로 x를 '두개' 가져야 한다.)

더 나아가 중근일 뿐만 아니라 '극소여야 한다.'는 것도 얻을 수 있다.(왜?) 그러므로 개형은 다음과 같은 형태여야 한다.

이때, 나머지 한 근은 3-a이므로(왜?) (0이면 안된다는 것에 주목하라.)가 성립해야 한다는 것도 덤으로 얻을 수 있다. 더불어 0과 3-a 사이에서는 항상 0보다 크므로, 0부터 x가 점점 작아질 때, 처음으로 0이하가 되는 x값이 3-a라는 사실도 알 수 있다. 그러므로 곧, a가 4이상이라는 사실을 얻는다.(이 과정을 거칠 때, a의 값을 적당히 바꿔가면서 상황이 어떻게 바뀌어가는지 반드시 확인해보도록 한다.) 이제 (다)에서는 더 얻을 것이 없다. 어차피 a값이 분명한 것으로 확정되지 않아도 문제를 풀 수 있으며, 실제로 a값은 분명히 결정되지 않을 것이다.(왜?)

- 두번째 갈림길 : 식을 도입하기 전에, 에서 모든 항을 좌변으로 이항했다고 생각하면, f(x)-f'(x)가 삼차함수이므로 첫번째 갈림길과 같은 길을 자연스레 선택해야한다는 것을 얻는다.

이제, f(2)를 구해보면, 라는 사실을 얻는다. 자, 언제 f(2)가 최소일까?

고민해볼 거리

1. 머릿속으로 개형을 충분히 상상하여 상황을 개괄할 수 있는가?(머릿속으로 어렵다면 종이에 그래프를 그려서)

2. 필요에 따라 대수식을 이용하여 상황을 이해할 수 있는가?

3. 'A가 성립한다면 어떻게 될까?'(본 문제에서라면 개형이

와 같다면 어떻게 될까? 와 같은 질문)와 같은 가설적이고 실험적인 사고가 가능한가?

추가적으로, 시간이 남는다면 (나)조건을 만족시키기 위해서는 f(x)의 개형이 어떻게 나타나야 하는가를 고민해보기 바란다.

추가적인 질문 사항이나 풀어줬으면 하는 문제가 있다면 댓글로 남겨주시길.

평화.

nucalc.exe

이번 수능 B형(홀수형) 30번 문제이다. (가)조건을 이용하면 f(x)가 ax(x-1) 라는 것을 얻을 수 있고, 이에 (나)조건을 이용하면-k=-1 일때 접선의 개수가 2개밖에 되지 않는다는 사실을 이용한다.- a=e 라는 사실을 얻는다. 별로 어려운 문제는 아니나 실제 수능 시험장에서는 많은 학생들이 어려움을 느낄법 하다. 다항함수와 지수함수의 곱을 두번이나 미분하고, 경우나누기도 들어가는 데다가 (나)와 같은 조건이 낯설게 다가온다는 것은 분명 정답률을 낮추는데 크게 기여한다. 하지만 그럼에도 결코 어려운 문제는 아니다. 학생들에게 하는 표현 그대로 쓰자면 '그냥 풀면 풀린다.'

푸는 과정에서 그래프를 그려 보는 것은 큰 도움이 된다. 시간이 많이 들게 되는 문제가 있기 때문에 실전에서는 꼭 필요한 부분만 그리기를 권하지만, 다 끝난 이후에 복기할때는 꼭 그려보기를 제안한다.

다음 그림은 이 문제와 관련된 그래프들이다.

보라색으로 표시된 그래프는 완성된 g(x) 이다. 실전에서 그리는 팁은 e^x나 e^-x 는 함수값의 부호를 그대로 유지시킨다(모든 곳에서 양수값이므로)는 것과 다항식과 곱했을때 그 극한이 결국 지수함수대로 간다, 다르게 표현하면 다항식을 '씹어 먹는다.'는 것을 이용한다. 이 문제에서라면, 다항함수랑 비슷하되(0과 1에서 근을 갖는 이차함수) x가 무한대로 가는 극한값은 0+라는 것이다.

파랑색 그래프는 마지막에 얘기하도록 하자. 빨강, 초록, 에메랄드 색 직선 세개는 k=1/2 경우의 접선들을 나타낸 것이다. 근사치로 넣어서 정확히 접하진 않지만 (나) 조건을 이해하는데 도움이 될 것이다. 

파랑색 그래프의 정체는 다음과 같다. 중간에 등장하는 수식들이나 기타 논리의 흐름을 반드시 당신의 언어로 종이에 손으로 직접 옮겨보라. 그냥 이 글을 읽는 것은 하등의 도움도 되지 않는다. 

우선 g(x)의 임의의 점 (x,g(x)) 에서의 접선의 방정식을 라고 둔 뒤에 

와 연립을 하자. l(x)가 접선의 방정식이므로 (x,g(x))에서 둘의 함수값과 순간 기울기는 같다. 따라서 식 두개를 얻는다.

이 두 식을 연립하면  를 얻는다. 그리고 (나) 조건을 다시 보자. -1 < k < 0 일때 접선의 개수가 3 이라고 했으므로, 서로 다른 m1, m2, m3 에 대해서 가 g(x)와 접해야 한다. 그러므로 의 근이 -1 < k < 0 일때, 그리고 오직 그때만 3개여야 한다. 는 y=0 에서 접하고, 그 위로는 는 3개 이상의 근을 가질 수 없다. 그리고 마찬가지로 파란색 그래프에서 보이듯 두번째 극점과 그 아래로는 3개 이상의 근을 갖지 못한다. 를 미분해보면 x=1 이 두번째 극값이라는 사실을 얻고, 그때의 값이 -1이 됨을 우리는 알고 있다.(왜 그런지 모르겠다면 더 고민해보기를..) 따라서 a = e 를 얻는다. 파란색 그래프는 를 나타낸 것이다. 이제 그 정체를 깨닫게 됐을 것이다. 

중간에 헷갈리기 시작한 독자들이 있을 것이다. 헷갈렸다면 우선 혼자서 위에를 이해할 수 있도록 10분은 고민해보기를 바란다. 아래는 중간에 tricky한 부분을 수정한 것이다. 두 가지가 사실은 같은 얘기를 하고 있다는 것을 깨닫는 것이 독자의 미지수와 함수에 대한 이해를 높이는데 큰 기여를 할 것이라 믿는다.

우선 g(x)의 임의의 점 (t,g(t)) 에서의 접선의 방정식을  라고 둔 뒤에와 연립을 하자. l(x)가 접선의 방정식이므로 (t,g(t))에서 둘의 함수값과 순간 기울기는 같다. 따라서 식 두개를 얻는다.

l'(t)=  = g'(t)

이 두 식을 연립하면  를 얻는다. 그리고 (나) 조건을 다시 보자. -1 < k < 0 일때 접선의 개수가 3 이라고 했으므로, 고정된 한 k에 대해 서로 다른 m1, m2, m3 가 존재하여 가 g(x)와 접해야 한다. 그러므로 의 근이 -1 < k < 0 일때, 그리고 오직 그때만 3개여야 한다. 따라서 이므로 는 y=0 에서 접하고, y 가 그 이상일때 는 3개 이상의 '근'을 가질 수 없다. 그리고 마찬가지로 두번째 극점과 그 아래로는 3개 이상의 근을 갖지 못한다.(파란색 그래프의 개형을 한번 보라.) 를 미분해보면 x=1 이 두번째 극값이라는 사실을 얻고, 그때의 값이 -1이 됨을 우리는 알고 있다.(왜 그런지 모르겠다면 더 고민해보기를..) 따라서 a = e 를 얻는다. 파란색 그래프는 를 나타낸 것이다. 이제 그 정체를 깨닫게 됐을 것이다. 

아! a 가 양수일때/음수일때 두가지로 케이스 분류하는 것도 잊지 말기를 바란다. 실제 시험에서는 양수로 두면 풀릴텐데, 시험 볼때는 그냥 넘어더라도 나중에 따로 공부할때는 음수로 가정해보고 풀어보아야 한다.

일부러라도 덜 자세하게 썼으니 잘 모르겠는 부분을 만났을때는 고민하는 시간으로 쓸 수 있기를... 의문이 가는 사항이 있다면 댓글 달아주시기를! 혹시 보고 있는 고3들이 있다면 수고했다는 말과 함께 지금은 이런 글을 찾아볼 떄가 아니라 즐겁게 놀때라는 것을 말해주겠습니다. 이 글은 이제 수능을 준비하는 학생들을 위해 쓰여진 글입니다. 

같이 있는 프로그램은 그래프 그리는 프로그램입니다. 수학에서도 '실험'이 얼마나 중요한지 얘기하고 싶은데, 제가 많은 학생들을 만날 기회가 없어서 찬 안타깝네요.(물론 본래 공부보다 시간을 더 쏟게 되는건 실험이 아닙니다.) 어떤 방법으로던 도움이 필요하다는 요청을 받게 된다면 최선을 다해서 도와드리겠습니다. 공부하는 틈틈이 이러면 어떨까 저러면 어떨까 그래프도 그려보고 다르게 가정도 해보고 문제를 만나보길 바랍니다. 평화!