veritas liberabit vos

변수 x 혹은 임의의 자연수 n은 어린왕자에 등장한 '양이 담긴 상자'와 유사한 것이라고 생각된다. 혹은 슈뢰딩거의 고양이와 유사한 것이거나.

그것은 분명 '하나'의 개체이지만 그 속에 '무한'(때로는 유한할 수도 있지만)한 가능성을 담고 있다.

어떤 때에는 상자를 들었을때 그 속에 하나의 양만 있을 수도 있지만, 상자 속에 양이 담겨 있을 것이라는 믿음은 기본적으로 무한한 대상을 그 속에 담고 있음를 보장해준다.

우리가 보고 있는 것은 하나의 문자이지만, 사실은 무한한 가능성을 보고 있는 것이겠지. 

※ 필자는 학부 4학년으로 아직 수학적 수준이 형성되었다고 말하기도 부끄러운 상태이다. 그러니 본 글의 내용이 모두 참 인 것으로 인식하지 않기는 바라며, 단지 배움의 과정에서 갖게 된 일종의 느낌을 공유하기 위한 것으로 이해해주길 희망한다.

 모든 것에 앞서서, 우리의 마음의 고향인을 생각할 필요가 있다. 인간은 기본적으로 자신이 지각할 수 있는 것을 본질이라고 생각하는 경향이 있다. 곧, 자연을 움직이는 법칙(이는 물리 법칙보다 더욱 큰 개념이다.)이 우리의 3차원 공간에서 일어나는, 우리가 지각할 수 있는 법칙과 같은 것이라고 생각한다. 그런바, 인간에게 있어서 세계란 x좌표, y좌표, z좌표의 세가지 정보만 주어지면 위치를 특정할 수 있는 것으로 여겨졌다.

 그러나, 아인슈타인의 상대성이론에 힘입어 시간 또한 세계를 구성하는 x좌표, y좌표, z좌표 못지 않게 중요한, 더 나아가 완전히 동등한 하나의 축으로 여겨져야한다는 것이 모두에게 널리 알려져있다. 흔히들 생각하는 '시공간'이라는 개념이 누구에게나 익숙한 단어가 된 것(물론 4개의 축이 독립적으로 기저를 이루고 있다는 차원에서 그런 말이 사용되는 것은 아닐테지만.)이 바로 그러한 모습의 투영일 것이다. 이러한 세계의 '4차원성'을 나타내는 수학적 공간이 바로 '민코프스키 공간'이다. 이에 대하여는 자세히 술하진 않겠고, 다만 기존의 에 시간축이 더해진 것이라고만 언급하겠다.

 하지만, 그렇다고 하여 우리가 세상을 이해할때 를 이용하지 않는 것은 아니다. 더 나아가 때로는 에서, 혹은 에서 이야기를 펼쳐나가며 이 세계를 이해하고자 한다. 이런 사례는 물리학에서도 살펴볼 수 있는데, 양자역학과 상대성이론이 뉴턴역학(고전 역학)의 오류를 지적했지만, 그럼에도 뉴턴역학이 이 세상을 이해하는 도구로서 쓰이지 않는 것은 아니다.

 이것은 직관에 잘 드러맞는다는 등의 시덥잖은 이유로 보기에는 어렵다. 실제로 갈릴레오 이전에는 힘이 더 이상 가해지지 않는다면 움직이는 물체는 정지할 것이라고 이야기하였는데, 이것은 우리의 상식에 잘 드러맞는다. 곧, 굴러가고 있는 것에 힘을 더 가하지 않는다면 금방 멈추고 만다. 그러나 이것은 마찰력이라는 힘이 존재한다는 것을 몰랐던 데에서 발생한 오류였던 것이다. 그렇다면 두 사례가 모두 오류가 발견된 세계를 보는 눈이었을지언대, 한쪽은 퇴출되고 한쪽은 여전히 그 권위를 인정받는 까닭은 무엇인가?

 차이가 만들어진 위치를 한마디로 하자면 '유용성'이다. 여기서 말하는 유용성이란 한마디로 하자면 '이렇게 세상을 바라보니 복잡하지 않고 편리하더라.'는 것이다. 뉴턴 역학의 유용성은, 양자역학이 만들어내는 오류를 미리 상정해둔다면, 거시적인 세계의 움직임을 꽤 잘 설명한다. 힘이 있다는 것은 '가속도'가 있다는 것이며 이것은 역의 경우도 마찬가지다. 곧, 등속운동하는 물체에는 힘이 가해지지 않는다. 어떤 사물에게 작용하면 반대로 그 사물은 같은 크기의 방향만 반대인 힘으로 반작용한다. 이런 거시적인 움직임은, 미시적인 오류가 있을지도 모른다는 것을 감내한다면, 꽤나 정확한 세계를 보는 눈을 제공해준다.

 그런바, 는 세상의 '공간적' 측면에만 집중해서 보는 틀이 된다. 비록, 속도가 엄청나게 빠르다면 공간이 뒤틀리겠지만, 그런 오차가 발생할 것을 미리 감내한 상태에서 하는 에서의 운동의 분석은 꽤나 정확한 정보를 준다. 비록 이 세상에 두께가 없는 것은 없지만, 어떤 공간의 단면만 보기 위해서 를 보는 것도 마찬가지이다. '두께가 실제로는 있지만 그것을 무시하는 데에서'오는 오류를 감내하더라도 그곳에서 일어나는 분석은 그 자체로 의미와 유용성이 있는 것이다. 그리고 그것은 나머지 요소가 고정됐다는 바로 그 '감내'아래에서는 논리적으로 정확한 정보를 준다.

 그런 바 우리가 다양한 공간을 정의하고 그 정의 아래에서 일어나는 현상을 분석하는 것은, 우리가 관심을 가질 대상을 정하고 세상을 바라보겠다는 약속과 그 약속 아래에서 세상을 바라보면 어떤 것을 얻을 수 있을지를 분석하는 과정이다. metric space(거리 공간)에서는 metric(거리)라는 개념에만 주목하여 분석하는 것이고, vector space(벡터 공간)에서는 vector(벡터)라는 개념에만 주목하여 분석하는 것이다.

 이러한 주목이 결정되는 것은 상당히 민주적이라고 할만하다. 생각해보자면 metric이라는 개념은 우리가 이미 에서 '두 점 사이의 거리'와 같이 굉장히 자유로이 쓰고 있는 개념이다. 그런 우리가 직관적으로 생각할 수 있는 거리의 개념을, '두 직선 사이의 거리', '직선과 곡선 사이의 거리'와 같이 자연스레 확장시키며, 이러한 확장 가운데서 유지되는 것은 무엇인가, 혹은 유지되어야만하는 것은 무엇인가 하는 고민이 바로 metric space의 정의를 완성시킨 것이다. 요컨대,

 (1차원 혹은 2차원, 3차원) 공간에서의 거리 개념 -> 임의 차원 공간에서의 거리 개념 -> 임의 공간에서의 거리 개념

으로의 확장이라고 할 수 있겠다.

 topological space의 경우엔,

 (1차원 혹은 2차원, 3차원)공간에서의 거리 개념 -> (1차원 혹은 2차원, 3차원) 공간에서의 '열림' 개념 -> 임의 공간에서의 '열림' 개념

으로 확장해나가며, 열림(open)이라는 것이 가진 본질적인 것이 무엇인가하는 고민 끝에 얻어진 결과인 것이다. 구(sphere)형의 모양이어야 한다는 것이나, 껍데기는 비워져야한다는 것은 부차적인 것으로 우리의 관심대상에서 제외시키고 우리가 보려는 '열림'이라는 성질에만 주목한 결과이다.

 이러한 작업을 수학에서는 '추상화' 혹은 '일반화'라고 부른다. 도대체 본질이란 무엇인가? 하는 끝없는 질문에의 대답인 것이다. 그리고 그러한 본질이 다분히도 다양한 요소를 갖추고 있기때문에, 그러한 '구체'를 제거하고 끊임없이 내부를 관찰하고자 하는 것이다. 요컨대, 추상화의 과정은 본질로 나아가는 길의 방향을 정하는 것이다.

모든 정의(와 그 숫자)는 <이인석, 선형대수와 군>의 것을 따른다.

보기 11.9.1. 가역행렬 전체의 집합을 

로 표기하고, [general linear group over F]라고 부른다. 는 행렬의 곱셈을 이항연산으로 갖는 group이다. (하략)

정의 12.3.20. G가 group 일 때,

로 표기하고, 를 G의 center(중심군)라고 부른다.

명제. 이다.

증명. 의 임의의 원소 A와 의 임의의 원소 B에 대하여 AB = BA가 성립해야한다. 이때 B는 임의의 가역행렬이므로 기초 행렬(elementary matrix)여도 상관없다. 따라서 첫째로 B가 i-번째 열의 a배를 j-번째 열에 더하는 기초 행렬 연산에 대응하는 기초 행렬이었다고 가정하자. 이때, 기초 행렬을 오른쪽에 곱하는 것은 동일한 연산을 행에 대해서 시행하는 것임이 잘 알려져 있으므로, AB 는 A 의 i 번째 행의 a 배를 j 번째 행에 더한 행렬임을 안다. 따라서 AB = BA 는 i-번째 행의 a배를 j-번째 행에 더한 것과 i 번째 열의 a배를 j-번째 열에 더한 것과 같다는 뜻이므로 A가 대각 행렬(diagonal matrix)이어야만 함을 함의한다. (왜 그런가?) 둘째로 B가 i-번째 열과 j-번째 열을 바꾸는 기초 행렬 연산에 대응하는 기초 행렬이었다고 가정하자. 기초 행렬 연산을 오른쪽에 행하는 것은 그 연산을 열에 행하는 것과 같음이 잘 알려져있고, 따라서 AB는 A의 i 번째 행과 j 번째 행을 바꾼 행렬임을 안다. 이때 BA는 A의 i 번째 행과 j 번째 열을 바꾼 행렬이고, A는 대각 행렬이므로 A의 i-번째 행(열)의 원소와 A의 j-번째 행(열)의 원소는 서로 같아야 한다. 따라서 A는 모든 성분이 같은 대각 행렬이고 이는 항등 행렬(Identity matrix)의 상수배로 나타낼 수 있다는 것과 같은 말이다. 증명 끝.

(모든 정의는 이인석, <선형대수와 군>의 것을 따른다.)

G={1,x_2,x_3,...} 라고 놓을 때, group G의 연산표를 다음과 같이 정의한다.(티스토리는 별 기능을 다 제공한다.)

관찰 11.2.9. (Cancellation Law) x,y,z ∈ G 일 때, xy = xz 이면 y = z 이다. 또, xz = yz 이면, x = y 이다.

관찰 11.2.14. 연산표의 각 가로줄에는 모두 다른 원소가 나타난다. 각 세로줄도 마찬가지이다.

 증명 : xy = xz 이면, Cancellation Law 에 의해 y = z 이므로.

관찰 11.2.15. 고정된 x ∈ G 에 대해서, 함수 λ_x : G -> G 를 

                             λ_x(y) = xy, (y ∈ G) 

로 정의하면, λ_x : G -> G는 bijection 이다. 더 고상하게 말하면, λ_x는 집합 G를 permute한다.

(※ λ(람다)는 left multiplication 에서 첫 글자를 따온 것이다. 마찬가지로 right multiplication은 ρ(로)로 표기한다.)

 증명 : 그 말이 그 말. 아차, 지금은 surjectivity 도 보여야 한다. 

 쭉쭉 읽고 써보다가 첫번째 든 의문은 다음과 같다. injectivity만 보여도 surjectivity가 보여지지 않는가? 즉, 어차피 G의 원소는 한정되어 있는데 서로가 달라야 한다면 모든 G의 원소들이 '선택받아야'하는 것 아닌가?  그리고 나서 다시 전으로 돌아와서 살펴보니 다른 의문이 들었다. 11.2.15. 에서는 left multiplication에 대해서만 보였는데 G가 가환(commutative)하지 않다면 증명이 불충분한 것이 아닌가? 즉, 가로줄 증명은 되었으나 세로줄 증명은 안된 것이 아닌가?

 첫번째 의문이 들었을때 가장 먼저 생각난 것이 dimension theorem이다. 그런데 곰곰히 생각해보니 λ_x가 선형이라는 것은 대체 무슨소리인가 싶은 것이다. 아, 그것이 중요한게 아니었다. 왜 dimension theorem에 의해 injectivity가 surjectivity를 보증하는가? 바로 비둘기집의 원리(pigeon hole principle)때문이었다. 그렇다면 비둘기집의 원리에 의해 surjectivity를 보이지 않아도 충분한가? 우선은 '그렇지 않다.' 이 책에서 언급된(4.3.4) 비둘기집의 원리는 유한 집합에 한정되어 있다.(cardinality가 생각나긴 했는데 아직 배우질 않아서 언급은 하지 않겠다.) 그리고나서 살펴보니 dimension theorem을 이용해 증명한 부분도 f.d.v.s.(finite dimensional vector space)에 한정되어 있었다. 따라서, '유한군에서는 비둘기집의 원리에 의해 bijection 임을 알 수 있지만, 무한군에 대해서는 surjectivity를 직접 증명해줘야 한다.'

 두번째 의문을 보고 책에 주어진 연산표들을 살펴보니 모두 가환군의 연산표라서 의미가 없었다. 그리고 또 생각을 해보니 비가환군에도 관찰 11.2.14.가 적용되므로 어차피 연산표를 봐봐야 당연히 의미가 없을 것이라는 것을 알게 되었다. 아무튼 곰곰히 생각해봐도 세로줄 증명은 관찰 11.2.14.의 끝에 '마찬가지이다.'라는 말로 갈음된 것 같다. 즉, xz = yz 이면 x = y 라는 사실과 right multiplication 이 bijection 이라는 사실에서 새로이 얻어야 하는 것 같다. 나도 모르겠다.

monthly 96 hannah geometric determinant.pdf

아직 완전하고 깔끔하게 전체를 설명해주는 것은 아니지만, 분명히 의미가 있는 시도라고 생각한다. 곧, 이렇게 저렇게 행렬식을 정의하고 나니 그것이 벡터들이 생성(span)하는 공간의 부피(volume)과 같았더라는 것이 아니라, 애초에 행렬식 자체를 해당 행렬이 변화시키는 크기를 측정가능한 공간의 부피 변화량으로 이를 정의하는 것은 참으로 참신하다.

한편, 그런 시도에도 불구하고 연립방정식의 해의 존재성을 이야기하는 행렬식의 시발점이 어떻게 부피로 이어지는가는 아직 풀리지 않는 문제다. 너무너무 흥미롭다! 

참고로 나는 I에서의 값이 1인 alternating n-linear form이 행렬식이라는 정의가 가장 아름답다고 생각한다. 이에 더하여 부피도 I에서의 값이 1인 alternating n-linear form이므로, det 과 vol이 같은 사상이라는 전개까지 말이다.

물론 음의 부피를 어떻게 이해할 것인지도 중요하다고 생각한다. 위의 논문은 original의 reflection이라고 표현했는데, 과연 무엇을 original로 볼 수 있는가? 분명한 정의가 필요할 것이다.

논문 중간의 그림은 행렬식이 부피를 나타낸다는 말을 분명하게 이해할 수 있도록 도움을 줄 것이다. 특히 figure2. 가 압권이라 생각한다.

모든 정의는 이인석, 서울대학교출판문화원, <선형대수와 군>의 것을 따른다.

유입 키워드에 'isomorphic 개념'이 있길래 써본다. 내가 올려놓은 글에선 isomorphism의 개념에 대해서 설명해놓았다기 보다는 그저 책의 아름다움에 감탄만 나타나있으므로, 다소간 실망했을 것 같다. 부디 'isomorphic하다.'는 것의 느낌을 잘 깨달았기를.. 

(수정) 가장 먼저 언급해야할 것은, 벡터공간(vector space)의 의미에 관한 것이라고 생각되어 추가하도록 한다.

선형대수학은 벡터 공간에 대한 수학으로, 벡터 공간이란 벡터공간 공리를 만족시키는 공간을 가리킨다.(Vector space is a set of vectors. 벡터 공리는 생략하도록 한다.) 이때, 벡터공간에 주어진 연산은 덧셈과 실수배의 두 가지인데, 만약 어떤 두 벡터 공간이 연산의 구조가 같다면 두 공간은 사실상 같다고 말할 수 있다. 곧, V라는 벡터 공간에서 벌어지는 연산을 f라는 사상을 이용하여 벡터공간 W로 넘어와 살펴보았을 때 그 결과의 대응이 잘 유지된다면 그것을 사실상 같다고 말할 수 있는 것이다.

그것은, 특정한 벡터공간은 연산의 결과가 어떻게 되느냐에 따라 구조가 결정되는 것이라는 사실에서 자연스럽게 나오는 귀결이다. 단순히 E의 짝으로 H를 찾을 수 있고, F의 짝으로 I의 짝을 찾는 것을 넘어 E와 F에 주어진 연산을 한 결과의 짝이 E의 짝과 F의 짝에 주어진 연산을 한 결과와 같다는 것이 필요한 이유가 그것이다.

먼저 알아두어야 할 정의들이 있다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 f(v+v')=f(v)+f(v'), f(av)=af(v) (v,v' 은 V의 원소, a는 임의의 주어진 체의 원소)

를 만족하면, 'f는 선형이다(linear하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 선형사상(linear mapping,linear function, linear transformation)이라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 f(v)=f(v') 이면 v=v' 이다.

를 만족하면 'f는 단사이다(injective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 단사함수(injection,monomorphism)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 임의의 W의 원소 w에 대하여 어떤 V의 원소 v가 존재하여 f(v)=w 이다.

를 만족하면 'f는 전사이다(surjective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 전사함수(surjection,epimorphism)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가 전사이면서 동시에 단사이면 'f는 전단사이다(bijective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 전단사함수(bijection)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 선형사상(linear mapping) f:V->W 가 전단사이면 f를 동형사상(isomorphism)이라고 부른다.

이제 isomorphic하다는 것을 정의할 수 있다. '어떤 벡터공간 V와 W가 isomorphic하다(동형이다.)'라는 것은 V에서 W로의 isomorphism이 존재한다는 것을 의미한다. isomorphism의 정의를(즉, 단사와 전사, 전단사의 의미를) 잘 곱씹어보면, isomorphic한 벡터공간 V와 W는 모든 원소가 서로 단 하나의 짝만 가지고 대응된다는 것을 알 수 있다. 즉, V는 W의 원소로(그리고 W의 원소는 V의 원소로) 유일하게 대응된다. 그리고 이를 단지 '이름 바꾸기'라고 부르는 것도 무관할 것이다. 우리는 V의 원소 v에 대응되는 W의 원소 w를(W의 원소 w에 대응되는 V의 원소 v를) 언제나 어렵지 않게 찾을 수 있다. 그러므로 아주 급진적으로 우리는 'isomorphic하다.'는 것을 '사실상 같다.'고 까지 표현할 수 있겠다.

어째서 사실상 같다고 말할 수 있는가? 그것은 덧셈과 상수곱의 구조에 대해서 V와 W가 이름만 다를 뿐 사실상 같기때문이다. 곧, f가 선형이므로 벡터의 합의 이름 바꾸기와 벡터의 이름 바꾸기의 합이 서로 같다.(스칼라배에 대해서도 마찬가지이다.) 그리고 이제 왜 isomorphic하다는 것을 정의할때 선형이라는 조건이 필요한 지 알 수 있다.

열심히 그림까지 손으로 그렸는데 스캔이 안되다니 세상에...... 다들 꼭 한번 그림을 통해서 느낌을 분명히 하길 바란다. 정의(와 정리)를 이해하는데에 그림은 언제나 큰 도움이 된다.