veritas liberabit vos

아주 오래된 책이라 어떻게 구매하게 된 것인지 기억도 잘 나지 않는데, 우연한 계기로 다시 읽다가 흥미로운 부분이 있어서 기록을 위해 일부 발췌하여 옮긴다.

123-125쪽 中

연관된 손익에 대해 시차를 두어 비용은 위와 같이 바로 손금산입하고 수익은 뒤에 가서야 익금산입한다면, 사실은 세금을 걷지 않는 셈이 된다. 예를 들어 어떤 법무법인이 올해 100원의 인건비를 들여 인적 용역을 제공하고, 그 다음 해에 보수 110원을 받는다고 하자. 이는 이 법무법인이 투자한 돈 100원의 수익률이 연 10%임을 뜻한다(110/100=110%). 현행법에 따른 세금을 고려하면 납세의무자는 올해에 인건비 100원을 손금산입하고, 보수 110원을 내년에 익금산입하게 된다. 세율이 40%라면 납세의무자는 올해에는 40원의 세금을 덜 내게 되고, 내년에는 44원의 세금을 내게 된다. 이를 고려하면 첫해 납세의무자가 투자하는 실제 금액은 100 - 40 = 60원이고, 둘째 해 납세의무자가 받는 돈은 110 - 44 = 66원이다. 결국 납세의무자는 올해 60원을 투자하여 내년에 66원을 받게 되고, 따라서 납세의무자의 투자수익률은 6/60=10%이다. 이 10%는 세금을 고려하기 전의 투자수익률 10%와 똑같다. 이는 곧 납세의무자가 아무런 세부담을 지지 않음을 뜻한다. 국가가 '세금'으로 받아 가는 돈 44원은 사실은 연 10%의 투자원리금일 뿐이다. 애초에 100원을 투자할 당시 납세의무자는 60원을 투자했을 뿐이고, 40원은 국가가 세금을 깎아 주는 형식으로 투자한 것이다. 국가는 40원에 대한 원리금 44원을 돌려받고 있을 뿐이다.

130-132쪽 中

제1차년 12월 31일 현재에 어떤 법인에게 앞으로 3년간 매년 말에 100원을 받을 수 있는 유가증권(3년이 지나면 더 이상 받을 것이 없으므로 흔히 볼 수 있는 꼴은 아니나 편의상 債券이라 부르자)이 난데없이 생겼다. 이 법인의 소득은 얼마인가? 올해에는 아직 돈 한 푼 생기지 않으므로 소득이 없고 앞으로 3년 동안 각 100원의 소득이 생겨 앞으로 네 해 동안의 소득이 (0, 100, 100, 100)원이 된다고 말하고 싶은 사람이 많을 것이다. 그러나 그런 세금은 소득세가 아니다! 소득이란 이 사람이 얼마나 더 부자가 되었는가를 묻는 것이다. 문제의 채권과 같은 위험을 가진 다른 투자안에서 기대할 수 있는 수익률이 연 10%라면, 이 채권의 가치는 100/1.1 + 100/(1.1)^2 + 100/(1.1)^3 = 248원이 되고, 금융시장이 효율적이라면 이 사람은 이 채권을 248원에 팔 수 있다(미실현이득을 이처럼 정확히 잴 수 있는 효율적 금융시장이 실제 있는가의 문제는 여기에서는 덮어 두자. 지금 우리는 개념을 따지고 있는 중이다). 그렇게 본다면 이 납세의무자는 작년 말에는 0원의 순자산을 가지고 있다가 올해에는 248원의 순자산이 있는 것이므로 248원의 소득이 있다고 하여야 한다.

여기에서 한 가지 의문이 생긴다. 국가가 금년에 248원을 과세하나, 앞으로 3년 동안 한 해 100원씩 과세하나 어차피 마찬가지 아닐까? 그렇지 않다. 소득과세란 당장 248원을 과세한 뒤 그 원본의 투자수익에 대해 앞으로 3년 동안 또 세금을 걷는 제도인 까닭이다. 이 납세의무자의 소득이 해마다 얼마인가, 곧 그의 부가 얼마나 느는가를 해마다 따져보자. 제1년차의 소득은 위와 같이 248원이다. 제2차년이 되면 이 납세의무자는 100원의 돈을 받는다. 한편 앞으로 2년 동안 100원씩 받을 채권의 가치는 100/1.1 + 100/(1.1)^2 = 174원이 되어 채권의 가치가 248 - 174 = 74원만큼 하락한다. 정리하면 제2차년도 동안 현금 100원이 늘고 채권의 가치가 74원 줄어 소득은 100 - 74 = 26원이 된다. 제3차년에는 채권의 값이 100/1.1 = 91원이 되어 가격의 하락액은 174 - 91 = 83원이다. 소득은 현금 100원 늘어난 데에서 채권가치하락액 83원을 뺀 17원이 된다. 제4차년에는 현금이 100원 생기고 채권값이 91원 떨어지므로 소득은 100 - 91 = 9원이 된다. 소득세란 이 납세의무자의 소득을 4년 동안 각 248원, 26원, 17원, 9원으로 보는 제도이다. (248, 26, 17, 9)원이라는 4년 동안의 소득을 단순히 합하면 300원이지만, 돈의 시간가치를 생각하면 이런 세제의 세금부담은 실현주의 세제, 곧 4년간의 소득을 (0, 100, 100, 100)원으로 보는 경우보다 무겁다.

위 문단의 분석에도 불구하고 올해에는 한 푼의 현금도 생기지 않고 앞으로 3년간 100원씩의 현금을 낳는 채권에서 (248, 26, 17, 9)원의 소득을 계산한다면, 이는 무언가 사리에 어긋난다는 생각을 떨치지 못하는 사람이 많을 것이다. 올해를 본다면 도대체 현금이 한 푼도 생긴 바 없는데 소득이 248원이라니? 소득이라는 말이 어차피 그 속에 어떤 내용을 담을 것인지를 우리가 정해야 하는 도구개념이라면, (0, 100, 100, 100)원이라는 내용이 담기도록 소득개념을 정하면 되는 것 아닌가? 옳은 말이다. 그러나 소득이라는 말을 그런 뜻으로 정한다면 이는 무엇을 뜻하는가? 자산의 가치가 오른 것은 소득이 아니고, 그와 같이 오른 가치가 현금화할 때 비로소 소득이 된다는 말이다. 현금이 들어와야 소득이 생긴다는 생각은 내 손에 쓸 돈이 들어와야 비로소 소득이 있다는 생각이다. 소득을 이렇게 정의하고 논리의 앞뒤를 맞춘다면, 그런 세제는 이미 소득세가 아니라 소비세로 넘어가게 된다. 결국 실현개념은 소비세의 속성이 소득세 속에 묻혀 들어와 두 세제를 어정쩡하게 타협시키고 있는 것이다. 부가 얼마나 늘었는가를 담세력의 잣대로 받아들이는 이상 실현개념은 설 자리가 없다.

그럼에도 불구하고 앞의 예에서 소득이 (0, 100, 100, 100)원이라고 생각하고 싶어지는 까닭은 무엇일까? 이는 소득세와 소비세의 선택이 가치판단의 문제이기 때문이다. 쓸 돈이 들어와야 소득이라는 생각은 소비야말로 과세물건이 되기에 적당한 잣대라는 생각이다. 어떤 사람이 소유하는 재산이 늘었다 하더라도 써 없애지 않은 이상 그 재산은 사회 전체로 본다면 그대로 남아 있다. 그렇다면 왜 부의 증가 그 자체가 담세력의 잣대가 되어야 하는가? 사회 전체의 부라는 관점에서 본다면, 한 사람이 부의 창출에 얼마나 이바지하는가에 따라 세금을 매길 일이 아니라 한 사람이 소비해 없애는 부가 얼마인가에 따라 세금을 매겨야 공평하지 않은가? 구태여 Thomas Hobbes의 주장*을 빌지 않더라도 소비야말로 담세력의 공평한 잣대라는 생각은 알게 모르게 사람들의 머릿속에 남아 있다. 소득을 과세물건으로 삼는 현행법 속에 그와 모순되는 실현이라는 개념이 자리잡은 것은 소득과 소비가 각각 나름대로 서로 다른 공평의 이념을 등에 업고 있는 까닭이다. 이런 의미에서 현행세제는 사실은 소득세가 아니라 소득세와 소비세를 적당히 섞은 것이다. 바로 여기에 현행세제의 기본모순이 있다.

*"what reason is there, that he which laboureth much, and sparing the fruits of his labour, consumeth little, should be more charged, than he that living idely, getteh little and spendeth all he gets."

아직 다 못썼지만 아까워서 포스팅합니다.

※ 앞서서 하고 싶은 말은, 이 글에 적힌 내용과 용어의 뜻은 고등학교 수준에 맞춰 작성된 것이며, 필자의 수준도 관련된 학부 강의를 몇개 보고 몇몇 자료를 찾아본 수준에 지나지 않다는 것입니다. 그러니 혹시 이해가 잘 가지 않거나 틀린 부분이 있다면 지적을 해주실 경우 추가적인 답변과 수정을 할 것입니다. 이런 지적이 '잘 모르겠어요.'수준에 머무르지는 않기를 바랍니다. 적극적으로 다른 정보들을 찾아본 뒤에 지적을 해준다면 저로서도 좋을 것 같고, 그대들에게도 큰 도움이 될 것입니다. Watson & Mason에 따르면 '학습이라는 것은 주의가 구조적으로 변화하는 것을 경험하는 과정'이라고 합니다. 충분한 호기심과 의문을 갖고 그대들의 주의를 구조적으로 바꾸시길 바라봅니다.

※ 특별히 이번 포스팅은 좀 깁니다. 읽는데 아마 시간이 꽤나 걸리실겁니다. 하지만 조금 시간을 들여 찬찬히 읽으신다면, 특별히 종이와 펜을 이용하여 고민해보며 읽으신다면, 읽으신 시간의 몇 배의 보상이 있을 것입니다. 다시는 통계부분 관련하여 인터넷에 검색할 일이 없을 것이라고 확신합니다.

언제나 그렇듯이 논의의 출발은 관련된 용어를 명확히 하는 것이다. 먼저 확률변수란, '확률이 정해져있는 변수'를 가리킨다. 물론 변수라는 것이 언제나 수만을 가리키는 것은 아니지만, 특별히 여기서는 수(number)를 가리키는 것이라는 것을 유념한다. 곧, 우리는 이 값도 될 수 있고 저 값도 될 수 있는 문자를 다루되, 그 '될 수 있는 확률'이 정해져있는 경우에 주목하고자 한다.(예컨대, 임의의 실수를 나타내고자 사용되는 변수 x는 확률과는 관계가 없다. 그냥 이 값도 될 수 있고 저 값도 될 수 있다는 가능성이 있을 뿐이다.) 특별히 확률변수를 나타낼 때는 일반적인 변수를 나타내기 위해 소문자 엑스(x)를 사용하는 것에 비교하여 대문자 엑스(X)를 사용하여 나타낸다. 여기서 확률이 정해져 있다는 것을 협의로 생각한다면, X=1일 확률이 정해져있다, 곧, P(X=1)가 정해져있다는 말로만 이해할 가능성이 크다. 그러나 이것은 X가 이산확률변수인 경우에만 해당하는 것이며, 연속확률변수의 경우에는 X=1일 '밀도'가 정해져있다는 차원에서 확률이 정해져 있다는 것이다.(밀도가 쌓이면, 곧, 적분되면, 질량이 될 것이다. 이제 '확률밀도함수'와 '확률질량함수'가 갖는 의미의 차이가 좀 더 와닿을 것이다.)

먼저 정규분포에 대하여 이야기해보도록 하자.

(출처 : http://www.seehint.com/hint.asp?no=12352)

정규분포는 연속확률분포로, 자연과 사회의 많은 확률분포가 정규분포를 따른다는 것이 알려져 있다. 또한, 이항분포의 경우도 n이 충분히 크다면 정규분포에 근사하는 등, 많은 분포가 정규분포와 뗄레야 뗄 수 없는 성질을 갖는다. 그렇다면 무엇이 이 정규분포를 이해하는 데에 핵심일까?

(출처 : http://secom.hanbat.ac.kr/xe/)

혹시 여러분은 정규분포에 관련된 단원을 담은 책의 맨 뒤를 펴본 적이 있는가? 그리고 펴봤다면 혹시 이런 표를 본 적이 있는가? 본 적이 없다면 다음 표는 어떠한가?

흔히 정규분포를 이루는 확률분포 관련 문제의 경우 표준화라는 작업을 통해 이루어진다. 위의 두 표는 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z에 대해 여러 확률값들을 주고 있다. 그리고 우리는 어떤 정규분포를 따르는 확률변수 X를 표준화하여 위의 표를 이용하여 확률을 구한다. 우리는 어떻게 표준화라는 작업을 통해 확률을 구할 수 있는 것인가?

혹시 이 그래프를 유심히 본 사람이라면 x축에 적혀있는 문자가 신기하게 보였을지도 모르겠다. μ의 경우 그리스 문자로 '뮤'라고 읽으며 m, 즉, 평균을 가리킨다. 위 그래프가 말하고 있는 것은, 정규분포는 평균으로부터 표준편차의 몇 배 만큼 떨어져 있느냐가 확률을 모두 결정한다는 것이다.(그냥 정규분포의 정의가 그렇다는 것으로 받아들이자. 치환적분을 이용하면 증명할 수 있다는 것만 말하도록 하겠다.) 즉, 임의의 정규분포 N(m,σ^2)를 따르는 확률변수 X에 대하여 다음과 같은 식이 성립한다. 볼 때 꼭 위의 그래프를 유념하면서 보도록 하여라! 제발!

이렇게 정규분포의 경우 평균으로부터 표준편차의 몇 배 만큼 떨어져있느냐에 따라서'만' 확률이 결정된다. 그러므로 어떤 정규분포가 주어지더라도 확률을 다 계산할 수 있는 것이다. 미리 구해놓은 표를 이용하여! 문제를 하나 풀면서 더 설명하도록 하겠다.

풀이 : 과자 1봉지의 무게를 확률변수 X를 통해 표현하도록 하자. 그러면 X는 N(75,4)를 따른다. 이제 76과 78이 75로부터 표준편차의 몇 배 만큼 떨어져 있는지 생각해보자. 76은 75보다 1 크다. 이때, 표준편차가 2 이므로 표준편차의 절반이 된다. 78은 75보다 3 크다. 이때, 표준편차가 2 이므로 표준편차의 1.5배가 된다. 그러므로 구하고자 하는 확률은

가 된다. 이제 오른쪽 표준정규분포표를 보자. 표준정규분포는 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포이다. 그러므로, 표준정규분포의 입장에서 는 이다. 그리고 위에서 말했듯이, 어느 정규분포든지 확률은 오직 평균으로부터 표준편차의 몇 배 만큼 떨어져있느냐에 의해 결정된다. 즉, 가 성립한다.(이것이 우리가 흔히 하고 있는 표준화의 의미이다.)

이렇듯 어떤 평균과 표준편차를 가졌든지 간에 우리가 미리 표준정규분포에 대하여 조사해놓는다면, 어떤 경우에서도 쉽게 확률을 구할 수 있다. 그래서 교과서 뒤에 표준정규분포표가 있는 것이다. 더 잘 설명하고 싶은데, 글로 설명하는 것은 한계가 있다. 필요하다면 전화던 동영상이던 설명을 해주고 싶다! 잘 모르겠으면 제발 댓글을 달아주길 바란다.

이제 특정한 '수치'에 집중하여 자료 수집을 시작했다고 생각해보자. 하나 상상해보면, '대한민국 사람 전체의 발 사이즈'를 조사하는 경우를 살펴볼 수 있겠다.(이때, 발 사이즈는 5mm단위로 측정한다고 하자. 그러면 충분히 분명하게 수치화된 정보를 얻을 수 있다.) 이 경우 나의 발 사이즈는 260mm이고, 지금 이 글을 보고 있는 당신의 발 사이즈도 일정한 값, 편의상 250mm라고 하자,이고, 하승진의 발 사이즈는 350mm이다. 이걸 쭉 모아 정리해보면 '아무나 한 명 뽑았을 때' 그 사람의 발 사이즈가 몇인지 말할 수 있을 것이다. 내가 뽑힌다면 260mm라고 말할 수 있을 것이고, 당신이 뽑힌다면 250mm라고 할 것이고. 그럼 이제 사람들을 발 사이즈로 분류했다고 생각해보자. 편의상 100만명이 260mm라고 해보자.(대한민국 전체는 5000만명이라고 가정하고.) 이때, 전체 자료에서 누군가의 자료를 뽑으면, 항상 그 사람에 대응하는 발 사이즈를 하나 찾을 수 있다. 예컨대, 내가 뽑힌다면 260mm를 대응시킬 수 있을 것이다. 그러면 우리가 진실로 '아무나' 뽑는다면, 어떤 사람을 뽑았더니 발 사이즈가 260mm일 확률은 100만/5000만, 즉, 1/5일 것이다. 아무나 뽑는다는 임의성은 누가 뽑힐 가능성이 더 높거나 낮지 않다는 것을 의미하고, 따라서 모두 똑같이 뽑힐 확률이 1/5000만일 것이기 때문이다. 그러면 이제 대한민국 사람 전체의 발 사이즈를 확률변수 X를 이용하여 표현할 수 있다. X라고 적힌 속에는 사실 5000만개의 수치가(물룐 겹치는 것도 있다.) 담겨져 있고, 단지 각 수치마다의 확률이 결정되어 있을 뿐이다. 아까 말한 것을 식으로 표현하면 P(X=260)=1/5라고 표현할 수 있을 것이다. 이렇게 특정 조사(혹은 측정)의 대상이 되는 결과(수치)를 모두 모은 집합(혹은 집단)을 모집단이라고 부른다. 다시 말하지만 '특정 조사에서 얻은 수치를 모두 모은 것'을 모집단이라고 한다. 그러므로 모집단은 고정적인 개념이 아니며 모여있는 것은 수치라는 것에 유의한다.

지금까지는 모집단의 값 하나하나만을 생각했다면 이번에는 여러 값을 임의로 동시에 뽑는다고 생각해보자. 편의상 10명의 값을 뽑는다고 해보자.(10대신 임의의 자연수 n을 선택하여도 같은 결론에 도달할 수 있다. 그리고 글을 읽는 여러분은 결국 그 단계까지 나아갈 수 있어야 한다.) 위에서 말한 것과 마찬가지로 다양한 값들이 나올 수 있다. 아까처럼 260mm가 나올 수도 있고, 270mm도 나올 수 있고 어쩌면 300mm가 나올 수도 있다. 중요한 것은 뽑힌 10개의 값이 각자의 확률을 갖는다는 것이다. 예컨대, 260mm가 나올 확률은 1/5였을 것이다. 그럼 10개의 값들이 모두 260mm일 확률은 얼마일까? 이는 확률이 1/5이고 시행횟수가 10번인 이항분포에서 1/5에 해당하는 사건만 10번 일어나는 것과 같다.(왜?) 따라서 확률은 이 된다. 이와 같이 10개의 값이 무엇이 나올지도 확률이 정해져있다. 여기서 주목하고 싶은 것은 특별히 뽑은 10개의 값의 평균이다. 왜 여기서 평균에 주목하는지는 후술하도록 하겠다. 각설하고, 260mm만 10개가 나오던지 250mm 1개, 270mm 1개, 260mm 8개가 나오던지간에 평균은 260mm로 같다는 것에 주목하라. 이렇게 가능한 10개의 조합을 모두 생각해본다면, 결국 10개의 평균은 260mm가 나올 수도, 270mm가 나올 수도 있고, 그 외에 다양한 값들이 나올 수 있다는 것을 알 수 있다. 더 나아가 각 조합의 확률이 정해져 있으므로 평균이 어떤 값이 나올 확률도 마찬가지로 정해져 있다는 것을 알 수 있다. 즉, 10개만 임의로 뽑아본 결과의 평균도 마찬가지로 확률변수다. 우리가 모집단의 임의의 값을 나타내기 위해 X를 사용했기 때문에 이렇게 10개만 뽑아본 결과의 평균은 확률변수지만 헷갈리지 않게 하기 위하여 위에 작대기를 그어 라고 나타낸다. 이제 P(X=260)과 P(=260)이라는 식이 가리키는 의미의 차이를 보다 분명히 알 수 있을 것이다. 이렇게 모집단이 정해져 있을 때, 해당 모집단에서 몇 개의 값을 뽑아 이들의 평균의 가능한 '조합'을 모두 모아 놓은 집단을 표본집단이라고 부르고, 몇 개의 값을 뽑았는지를 표본집단의 크기라고 부른다. 그리고 각각의 조합에서 평균을 생각하여 새롭게 얻어낸 '확률변수'를 '표본평균'이라고 부른다. 예컨대, 위의 사례라면 10이 바로 해당 표본집단의 크기가 되고, 10명의 발 사이즈를 모은 집합, 예컨대, {260mm, 260mm, ..., 260mm}가 표본집단, 이렇게 가능한 모든 표본집단에서 평균을 계산하여 새롭게 얻어낸 확률변수를 표본평균이라고 부른다는 것이다.

(표본집단에 대한 설명을 보충하도록 하겠다. 예컨대 주사위를 던졌을때 나오는 값을 처음 조사한다고 해보자. 그럴 경우 모집단은 {1,2,3,4,5,6}이 된다. 이때, 모집단에서 임의로 두 개의 원소를 뽑는다고 생각해보자. 그러면 가능한 경우는 {1,1}, {1,2}, {1,3}, ... , {6,6} 의 36가지 경우가 있다. 이때 각 경우의 평균을 구해보면 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 1.5, 2, ..., 5.5, 6 이런 식으로 구할 수 있을 것이다. 그러면, 표본평균이 1일 확률은, 표본집단에서 {1,1}을 뽑을 확률과 같으므로 1/36이 되고, 표본평균이 1.5일 확률은 {1,2}, {2,1}을 확률과 같으므로 2/36이 되고,... 와 같이 생각할 수 있다.)

놀라운 사실은 표본평균의 분포가 아주 신비한 성질을 갖는다는 것이다.

1. 만약 모집단이 N(m,σ^2)을 따르고 있었다면, 크기가 n이 되게끔 표본집단을 생각한다고 할 때, 표본평균은 '항상' N(m,σ^2/n)을 따른다.

2. 만약 모집단이 정규분포가 아니더라도, 평균이 m이고 분산이 σ^2이고, 표본의 크기 n이 충분히 크다면 표본평균은 N(m,σ^2/n)에 가까워진다.

이것이 바로 이른바 '중심극한정리'인데, 그 증명이 몹시 어려워 고등학교 교과서에서는 증명을 다루지 않는다. 그리고 부끄럽게도, 필자도 완전한 증명을 배우지는 못하였다. 하지만 분명한 것은 수학적으로 증명이 되어 있다는 것이다. 그러니 여러분의 정신건강을 위해서도 그냥 '받아들이기' 바란다.(참고로 2의 증명이 훨씬 어렵다. 조건으로 '표본의 크기 n이 충분히 크다면'이 붙어있다는 것에 주목하라. 애초에 1번과 2번이 왜 나뉘어 있는지 모른다면 반성하기 바란다. 그리고 다시 2번 명제를 보면 놀라움을 금할 수 없다. 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도 표본평균의 분포는 정규분포에 근사한다는 것이다! 저기서 n이 충분히 크다는 것은 n이 15이상 혹은 n이 20이상 혹은 nm이 얼마 이상 등 다양한 기준이 있는데, 사실상 교과서나 문제들에서 다루어지는 정도라면 충분히 크다는 것은 받아들이도록 하자. 왜냐하면, 이것은 주관적으로 정해지는 것이기 때문이다. n이 점점 커질 수록 정규분포와 가까워 지는 것은 맞는데, 어느정도면 '충분히' 가까운지를 판단하는 것은 주관적일 수 밖에 없다.)

기회가 된다면 마무리짓도록 하겠습니다. 이정도만으로도 충분히 도움이 되리라 생각합니다.

변수 x 혹은 임의의 자연수 n은 어린왕자에 등장한 '양이 담긴 상자'와 유사한 것이라고 생각된다. 혹은 슈뢰딩거의 고양이와 유사한 것이거나.

그것은 분명 '하나'의 개체이지만 그 속에 '무한'(때로는 유한할 수도 있지만)한 가능성을 담고 있다.

어떤 때에는 상자를 들었을때 그 속에 하나의 양만 있을 수도 있지만, 상자 속에 양이 담겨 있을 것이라는 믿음은 기본적으로 무한한 대상을 그 속에 담고 있음를 보장해준다.

우리가 보고 있는 것은 하나의 문자이지만, 사실은 무한한 가능성을 보고 있는 것이겠지.