veritas liberabit vos

※ 혹시나 이 글을 읽는 학생이라면 아래 내용을 반드시 읽고 풀이 및 해설을 보도록 합니다.

모든 풀이의 처음에는 문제가 제시되어 있습니다. 혹시라도 한번 풀어봤더라도, 다시 한 번 살펴보면서 문제를 어떻게 풀 수 있을지 고민해보라는 뜻입니다.

풀이 및 해설은 문제제시 -> 분류 -> 선수개념 -> 문제 분해 -> 설명 -> 고민해볼 거리 의 순서로 제시됩니다.

단순히 풀이 방법을 아는 것을 넘어 이것을 바탕으로 어떻게 공부할 수 있을지 생각해볼 학생이라면, 제시된 순서를 따라 천천히 읽기 바랍니다. 읽는 과정에서 반드시 종이와 펜을 이용해 필요한 부분이 있다면 직접 적어보며 생각하도록 합시다.

분류는 블로그 주인의 입맛에 맞게 임의로 설정된 것이며, 선수개념도 마찬가지입니다. 그러나, 선수개념의 경우 보자마자 어떤 내용인지 머릿속에 떠오르는 것이 부족하다면 우선은 해당 부분의 교과서 및 참고서 내용을 보고 오도록 합니다.

문제 분해의 경우 문제를 읽으며 이것을 어떻게 이해해야하는가를 문제의 순서에 맞게 제시한 부분입니다. 이것은 가장 중요한 훈련이며, 사실상 문제를 풀지 못하는 경우의 80퍼센트 가량이 이것을 제대로 해내지 못한다는 것에서 기인합니다. 중간 중간에 적힌 (왜?)는 왜인지 반드시 생각해보라는 뜻입니다.

분류 : 특정 조건을 만족시키는 함수

선수개념 : 다항함수의 미분법, 곱의 미분법, 연립 방정식

문제 분해

● 다항함수 f(x) 와 g(x)

- 문제에서 대상이 되는 함수는 다항함수라는 사실을 머릿속에 저장해둔다.(미분가능성, 연속성, 차수, 근, 인수분해 등)

● 모든 실수 x에 대하여 

- g(x)의 차수는 f(x)의 차수보다 3크다.(우선은 직관적으로 조건들을 이해하면서 간다. 식이 있다는 것은 반드시 기억.)

● g(x)가 x=1에서 극솟값 24

- 우선은 극솟값이므로 미분계수가 0, 곧, g'(1)=0이라는 사실을 안다.(g(x)가 다항함수이므로 미분가능이다.)

- 를 곱의 미분법을 이용하여 미분하면 이야기를 뭔가 할 수 있겠다는 생각이 든다.(그러나 당장은 쓸 데가 없으므로 가능성만 기억해둔다.)

- 극솟값이 구체적으로 24이므로 g(1)=24라는 식을 얻는다. 마찬가지로 를 이용하면 더 얻어낼 수 있다는 생각은 드나, 당장 쓸모가 있을지는 확신할 수 없으므로 기억만 해둔다.

● f(1)-f'(1)의 값을 구하시오.

- 주어진 조건은 g(x)에 관련된 것인데, 구하라는 것은 f(x)에 관한 것이다. 따라서 를 다리로 이용해야겠다는 것이 확실해진다. 이제 기억해둔 것을 이용하여 몇 가지 사실을 알아낸다.

- 이므로 임을 얻는다.

- 이므로 임을 얻는다. 미지수(f(1) 과 f'(1))은 2개이고 얻은 식은 2개이므로 이를 연립하면 두 미지수를 구할 수 있다. 곧, f(1)과 f'(1)을 구할 수 있고 이를 이용하면 f(1)-f'(1)도 구할 수 있다.

고민해볼 거리

1. g(x)의 극솟값 이야기에서 곱의 미분법이 사용될 것이 예측되는가?

2. 조건과 구하는 것 사이의 연결고리를 찾을 수 있는가?

추가적으로, 미분가능성은 미분을 하기 전에 먼저 생각해야한다.(본 문제에서는 다항함수와 그의 곱에 대한 이야기이므로 미분가능성이 보장된다.) 연립방정식을 푼다는 것은 식 하나를 이용하여 문자(미지수) 하나를 없앤다는 느낌이라는 것을 기억해둔다.

추가적인 질문 사항이나 풀어줬으면 하는 문제가 있다면 댓글로 남겨주시길.

평화.

※ 혹시나 이 글을 읽는 학생이라면 아래 내용을 반드시 읽고 풀이 및 해설을 보도록 합니다.

모든 풀이의 처음에는 문제가 제시되어 있습니다. 혹시라도 한번 풀어봤더라도, 다시 한 번 살펴보면서 문제를 어떻게 풀 수 있을지 고민해보라는 뜻입니다.

풀이 및 해설은 문제제시 -> 분류 -> 선수개념 -> 문제 분해 -> 설명 -> 고민해볼 거리 의 순서로 제시됩니다.

단순히 풀이 방법을 아는 것을 넘어 이것을 바탕으로 어떻게 공부할 수 있을지 생각해볼 학생이라면, 제시된 순서를 따라 천천히 읽기 바랍니다. 읽는 과정에서 반드시 종이와 펜을 이용해 필요한 부분이 있다면 직접 적어보며 생각하도록 합시다.

분류는 블로그 주인의 입맛에 맞게 임의로 설정된 것이며, 선수개념도 마찬가지입니다. 그러나, 선수개념의 경우 보자마자 어떤 내용인지 머릿속에 떠오르는 것이 부족하다면 우선은 해당 부분의 교과서 및 참고서 내용을 보고 오도록 합니다.

문제 분해의 경우 문제를 읽으며 이것을 어떻게 이해해야하는가를 문제의 순서에 맞게 제시한 부분입니다. 이것은 가장 중요한 훈련이며, 사실상 문제를 풀지 못하는 경우의 80퍼센트 가량이 이것을 제대로 해내지 못한다는 것에서 기인합니다. 중간 중간에 적힌 (왜?)는 왜인지 반드시 생각해보라는 뜻입니다.

분류 : 특정 조건을 만족시키는 함수

선수개념 : 삼차함수의 개형, 미분계수의 기하학적 의미, 다항함수의 미분법, 다항식과 부등식

문제 분해

● 삼차함수 f(x)

- 문제에서 대상이 되는 함수는 삼차함수로, 머릿속에 다양한 삼차함수의 개형들을 떠올린다.

(그림판으로 그려서 질이 상당히 떨어진다.)

개형을 떠올릴 때에는 대략적이고 빠르게 떠올리는 것이 중요하다. 이것은 앞으로 문제를 풀 때 기본적인 직관의 바탕이 된다. 한개만 떠올려도 무방하나, a가 음수인 경우도 있다는 것, 그리고 증가함수의 형태일 수도 있다는 것을 한번은 생각하고 가야한다.

● f(2)의 최솟값

- 최대최소 문제의 경우, 다양한 '가능성'을 살펴보고 주어진 조건에 맞는 것이 무엇인지 알아내는 것이 관건이다. 곧, 주어진 조건을 만족시키는 삼차함수가 분명하게 하나로 결정되지 않을 수도 있다는 것을 명심하도록 한다.

● (가) f(x)의 최고차항의 계수는 1이다.

- 처음에 떠올렸던 개형에서 a가 음수인 개형은 생각하지 않아도 된다. 또한, 식으로 세운다면 의 형태로 쓸 수 있다는 것을 파악하고 간다.

● (나) 

- 이쯤되면 머릿속으로 생각한 개형이 생각만으로 구체화되기 어렵다. 이럴 때에는 종이에 적어서 파악하도록 한다. 이때, 식으로 무엇인가를 하려고 하기 보다는 항상 개형을 먼저 떠올리고 해석의 여지가 부족하다고 여겨질때 식을 도입하도록 한다.

- f(0)은 0에서의 함숫값, f'(0)은 0에서의 미분계수이므로 그래프의 입장에서는 'x=0에서 y값과 접선의 기울기가 같다.'고 해석할 수 있다. 미분계수나 접선의 기울기를 그래프의 입장에서 해석할 때에 가장 먼저는 구체적인 수치보다 부호가 중요하다. 이를 반영하여 해석하면 다음과 같은 경우가 나오게 된다.

당연히 이것들만 나오는 것은 아니고, 사실 첫번째 것만 생각하려고 해봐도 이미 결론이 나온다. 그것은 '이렇게 생각하는 것은 뭔가 좀 아닌 것 같다.'이다. 1의 경우, x=0에서 y의 값이 양수인 경우인데, 이때, f'(0)도 마찬가지로 양수여야 하므로 해당 점에서 증가상태에 있어야 한다. 이때, 가능한 증가상태의 모습은 두 가지가 있겠고... 애초에 개형 자체가 크게 다른 증가상태라면 2의 모습일 것이다. y의 값이 음수라면 3과 같은 형태로 나올 것이다. 이 설명이 잘 이해가 되지 않는다면 이 문제의 풀이가 끝나고 반드시 고민해보도록 한다. 허나, 이 문제에선 '이렇게 풀다가는 풀 수 없겠다.'는 정도의 정보만 얻으면 충분하다. 여기서 갈림길이 두 가지로 갈린다.

- 첫번째 갈림길 : 식을 이용해서 풀어보자. (가)조건에 의해 라고 식을 쓸 수 있다는 것은 머릿속에 있을 것이다.(없다면 다음부터는 이러한 내용을 머리속에 담아갈 수 있도록 연습해야한다. '앞에 나왔던 이야기를 기억하지 못한다.'는 것은 문제를 잘 풀지 못하는 학생들의 전형적인 특징이다. 적어도 '앞에 최고차항의 계수에 관련된 이야기가 있었다.'는 것 정도는 기억해야한다.) 이제 (나)를 이용하면, 를 얻는다. (왜?) 이것만으로는 더 해석할 여지가 없어 보인다.

- 두번째 갈림길 : 잠깐 (나)를 해석하는 것을 멈춰두고 (다)를 본다.

● (다) 인 모든 실수 x에 대하여 가 성립한다.

- 함수 문제에서는 가장 먼저 '그래프의 개형'과 같은 기하학적 의미를 생각하도록 한다. 해석하려고 할 때, 앞의 조건도 난감하겠지만 라는 말의 의미가 잘 해석되지 않을 것이다. 도함수와 원래 함수를 동시에 그래프에 그리는 것은 배우지도 않았을 뿐더러 상당히 어려운 과정이기 때문이다. 따라서 여기서 다시 갈림길이 두 가지로 갈린다.

- 첫번째 갈림길 : 위에서 첫번째 갈림길을 선택한 학생은 자연스럽게 이 길로 와야한다. 곧, 식을 이용하여 이를 해석하도록 한다. 또한, 여기서 식을 이용하여 해석하겠다는 결심이 섰다면 다시 (나)로 올라가 이를 식을 이용하여 해석하겠다는 생각이 들어야 한다. 그러면 결과적으로 라는 식을 얻는다. 두 다항식(게다가 계수도 관계되어 있다.)을 부등식을 이용하여 비교하는 것은 직관적(그래프의 개형)으로는 어려운 일이다. 따라서 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하면(최고차항의 계수가 양수가 되도록) 라는 식을 얻는다. 이때, a와 b가 임의의 실수였으므로 는 원점을 지나는 삼차함수이다. 그러므로 (다)조건은  인 모든 실수 x에 대하여 '원점을 지나는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수가 x축과 만나거나 위에 있다.'는 말로 해석될 수 있다.

원점을 지나는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수라고 하면 다음과 같은 모습을 가장 먼저 떠올릴 것이다.

하지만 둘 다 적합하지 않다.(왜?) 그러므로 결과적으로 '0의 좌우에서 부호가 바뀌어서는 안된다.'는 사실을 얻는다. 따라서 는 원점에서 중근을 가져야 한다. (아마 이 사실과 그에 따른 결론을 얻는 과정이 가장 어려울 것이다. 왜 저 두 그림이 적합하지 않은지 고민하는 과정이 그래서 중요한 것이다.) 그러므로 가 성립한다.(중근이므로 인수로 x를 '두개' 가져야 한다.)

더 나아가 중근일 뿐만 아니라 '극소여야 한다.'는 것도 얻을 수 있다.(왜?) 그러므로 개형은 다음과 같은 형태여야 한다.

이때, 나머지 한 근은 3-a이므로(왜?) (0이면 안된다는 것에 주목하라.)가 성립해야 한다는 것도 덤으로 얻을 수 있다. 더불어 0과 3-a 사이에서는 항상 0보다 크므로, 0부터 x가 점점 작아질 때, 처음으로 0이하가 되는 x값이 3-a라는 사실도 알 수 있다. 그러므로 곧, a가 4이상이라는 사실을 얻는다.(이 과정을 거칠 때, a의 값을 적당히 바꿔가면서 상황이 어떻게 바뀌어가는지 반드시 확인해보도록 한다.) 이제 (다)에서는 더 얻을 것이 없다. 어차피 a값이 분명한 것으로 확정되지 않아도 문제를 풀 수 있으며, 실제로 a값은 분명히 결정되지 않을 것이다.(왜?)

- 두번째 갈림길 : 식을 도입하기 전에, 에서 모든 항을 좌변으로 이항했다고 생각하면, f(x)-f'(x)가 삼차함수이므로 첫번째 갈림길과 같은 길을 자연스레 선택해야한다는 것을 얻는다.

이제, f(2)를 구해보면, 라는 사실을 얻는다. 자, 언제 f(2)가 최소일까?

고민해볼 거리

1. 머릿속으로 개형을 충분히 상상하여 상황을 개괄할 수 있는가?(머릿속으로 어렵다면 종이에 그래프를 그려서)

2. 필요에 따라 대수식을 이용하여 상황을 이해할 수 있는가?

3. 'A가 성립한다면 어떻게 될까?'(본 문제에서라면 개형이

와 같다면 어떻게 될까? 와 같은 질문)와 같은 가설적이고 실험적인 사고가 가능한가?

추가적으로, 시간이 남는다면 (나)조건을 만족시키기 위해서는 f(x)의 개형이 어떻게 나타나야 하는가를 고민해보기 바란다.

추가적인 질문 사항이나 풀어줬으면 하는 문제가 있다면 댓글로 남겨주시길.

평화.

※ 필자는 학부 4학년으로 아직 수학적 수준이 형성되었다고 말하기도 부끄러운 상태이다. 그러니 본 글의 내용이 모두 참 인 것으로 인식하지 않기는 바라며, 단지 배움의 과정에서 갖게 된 일종의 느낌을 공유하기 위한 것으로 이해해주길 희망한다.

 모든 것에 앞서서, 우리의 마음의 고향인을 생각할 필요가 있다. 인간은 기본적으로 자신이 지각할 수 있는 것을 본질이라고 생각하는 경향이 있다. 곧, 자연을 움직이는 법칙(이는 물리 법칙보다 더욱 큰 개념이다.)이 우리의 3차원 공간에서 일어나는, 우리가 지각할 수 있는 법칙과 같은 것이라고 생각한다. 그런바, 인간에게 있어서 세계란 x좌표, y좌표, z좌표의 세가지 정보만 주어지면 위치를 특정할 수 있는 것으로 여겨졌다.

 그러나, 아인슈타인의 상대성이론에 힘입어 시간 또한 세계를 구성하는 x좌표, y좌표, z좌표 못지 않게 중요한, 더 나아가 완전히 동등한 하나의 축으로 여겨져야한다는 것이 모두에게 널리 알려져있다. 흔히들 생각하는 '시공간'이라는 개념이 누구에게나 익숙한 단어가 된 것(물론 4개의 축이 독립적으로 기저를 이루고 있다는 차원에서 그런 말이 사용되는 것은 아닐테지만.)이 바로 그러한 모습의 투영일 것이다. 이러한 세계의 '4차원성'을 나타내는 수학적 공간이 바로 '민코프스키 공간'이다. 이에 대하여는 자세히 술하진 않겠고, 다만 기존의 에 시간축이 더해진 것이라고만 언급하겠다.

 하지만, 그렇다고 하여 우리가 세상을 이해할때 를 이용하지 않는 것은 아니다. 더 나아가 때로는 에서, 혹은 에서 이야기를 펼쳐나가며 이 세계를 이해하고자 한다. 이런 사례는 물리학에서도 살펴볼 수 있는데, 양자역학과 상대성이론이 뉴턴역학(고전 역학)의 오류를 지적했지만, 그럼에도 뉴턴역학이 이 세상을 이해하는 도구로서 쓰이지 않는 것은 아니다.

 이것은 직관에 잘 드러맞는다는 등의 시덥잖은 이유로 보기에는 어렵다. 실제로 갈릴레오 이전에는 힘이 더 이상 가해지지 않는다면 움직이는 물체는 정지할 것이라고 이야기하였는데, 이것은 우리의 상식에 잘 드러맞는다. 곧, 굴러가고 있는 것에 힘을 더 가하지 않는다면 금방 멈추고 만다. 그러나 이것은 마찰력이라는 힘이 존재한다는 것을 몰랐던 데에서 발생한 오류였던 것이다. 그렇다면 두 사례가 모두 오류가 발견된 세계를 보는 눈이었을지언대, 한쪽은 퇴출되고 한쪽은 여전히 그 권위를 인정받는 까닭은 무엇인가?

 차이가 만들어진 위치를 한마디로 하자면 '유용성'이다. 여기서 말하는 유용성이란 한마디로 하자면 '이렇게 세상을 바라보니 복잡하지 않고 편리하더라.'는 것이다. 뉴턴 역학의 유용성은, 양자역학이 만들어내는 오류를 미리 상정해둔다면, 거시적인 세계의 움직임을 꽤 잘 설명한다. 힘이 있다는 것은 '가속도'가 있다는 것이며 이것은 역의 경우도 마찬가지다. 곧, 등속운동하는 물체에는 힘이 가해지지 않는다. 어떤 사물에게 작용하면 반대로 그 사물은 같은 크기의 방향만 반대인 힘으로 반작용한다. 이런 거시적인 움직임은, 미시적인 오류가 있을지도 모른다는 것을 감내한다면, 꽤나 정확한 세계를 보는 눈을 제공해준다.

 그런바, 는 세상의 '공간적' 측면에만 집중해서 보는 틀이 된다. 비록, 속도가 엄청나게 빠르다면 공간이 뒤틀리겠지만, 그런 오차가 발생할 것을 미리 감내한 상태에서 하는 에서의 운동의 분석은 꽤나 정확한 정보를 준다. 비록 이 세상에 두께가 없는 것은 없지만, 어떤 공간의 단면만 보기 위해서 를 보는 것도 마찬가지이다. '두께가 실제로는 있지만 그것을 무시하는 데에서'오는 오류를 감내하더라도 그곳에서 일어나는 분석은 그 자체로 의미와 유용성이 있는 것이다. 그리고 그것은 나머지 요소가 고정됐다는 바로 그 '감내'아래에서는 논리적으로 정확한 정보를 준다.

 그런 바 우리가 다양한 공간을 정의하고 그 정의 아래에서 일어나는 현상을 분석하는 것은, 우리가 관심을 가질 대상을 정하고 세상을 바라보겠다는 약속과 그 약속 아래에서 세상을 바라보면 어떤 것을 얻을 수 있을지를 분석하는 과정이다. metric space(거리 공간)에서는 metric(거리)라는 개념에만 주목하여 분석하는 것이고, vector space(벡터 공간)에서는 vector(벡터)라는 개념에만 주목하여 분석하는 것이다.

 이러한 주목이 결정되는 것은 상당히 민주적이라고 할만하다. 생각해보자면 metric이라는 개념은 우리가 이미 에서 '두 점 사이의 거리'와 같이 굉장히 자유로이 쓰고 있는 개념이다. 그런 우리가 직관적으로 생각할 수 있는 거리의 개념을, '두 직선 사이의 거리', '직선과 곡선 사이의 거리'와 같이 자연스레 확장시키며, 이러한 확장 가운데서 유지되는 것은 무엇인가, 혹은 유지되어야만하는 것은 무엇인가 하는 고민이 바로 metric space의 정의를 완성시킨 것이다. 요컨대,

 (1차원 혹은 2차원, 3차원) 공간에서의 거리 개념 -> 임의 차원 공간에서의 거리 개념 -> 임의 공간에서의 거리 개념

으로의 확장이라고 할 수 있겠다.

 topological space의 경우엔,

 (1차원 혹은 2차원, 3차원)공간에서의 거리 개념 -> (1차원 혹은 2차원, 3차원) 공간에서의 '열림' 개념 -> 임의 공간에서의 '열림' 개념

으로 확장해나가며, 열림(open)이라는 것이 가진 본질적인 것이 무엇인가하는 고민 끝에 얻어진 결과인 것이다. 구(sphere)형의 모양이어야 한다는 것이나, 껍데기는 비워져야한다는 것은 부차적인 것으로 우리의 관심대상에서 제외시키고 우리가 보려는 '열림'이라는 성질에만 주목한 결과이다.

 이러한 작업을 수학에서는 '추상화' 혹은 '일반화'라고 부른다. 도대체 본질이란 무엇인가? 하는 끝없는 질문에의 대답인 것이다. 그리고 그러한 본질이 다분히도 다양한 요소를 갖추고 있기때문에, 그러한 '구체'를 제거하고 끊임없이 내부를 관찰하고자 하는 것이다. 요컨대, 추상화의 과정은 본질로 나아가는 길의 방향을 정하는 것이다.