John Hannah, <A Geometric Approach to Determinants> : 행렬식에 대한 기하학적 접근
수학/대수학 / 2013. 6. 21. 17:11
monthly 96 hannah geometric determinant.pdf
아직 완전하고 깔끔하게 전체를 설명해주는 것은 아니지만, 분명히 의미가 있는 시도라고 생각한다. 곧, 이렇게 저렇게 행렬식을 정의하고 나니 그것이 벡터들이 생성(span)하는 공간의 부피(volume)과 같았더라는 것이 아니라, 애초에 행렬식 자체를 해당 행렬이 변화시키는 크기를 측정가능한 공간의 부피 변화량으로 이를 정의하는 것은 참으로 참신하다.
한편, 그런 시도에도 불구하고 연립방정식의 해의 존재성을 이야기하는 행렬식의 시발점이 어떻게 부피로 이어지는가는 아직 풀리지 않는 문제다. 너무너무 흥미롭다!
참고로 나는 I에서의 값이 1인 alternating n-linear form이 행렬식이라는 정의가 가장 아름답다고 생각한다. 이에 더하여 부피도 I에서의 값이 1인 alternating n-linear form이므로, det 과 vol이 같은 사상이라는 전개까지 말이다.
물론 음의 부피를 어떻게 이해할 것인지도 중요하다고 생각한다. 위의 논문은 original의 reflection이라고 표현했는데, 과연 무엇을 original로 볼 수 있는가? 분명한 정의가 필요할 것이다.
논문 중간의 그림은 행렬식이 부피를 나타낸다는 말을 분명하게 이해할 수 있도록 도움을 줄 것이다. 특히 figure2. 가 압권이라 생각한다.
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