veritas liberabit vos

모든 정의는 이인석, 서울대학교출판문화원, <선형대수와 군>의 것을 따른다.

유입 키워드에 'isomorphic 개념'이 있길래 써본다. 내가 올려놓은 글에선 isomorphism의 개념에 대해서 설명해놓았다기 보다는 그저 책의 아름다움에 감탄만 나타나있으므로, 다소간 실망했을 것 같다. 부디 'isomorphic하다.'는 것의 느낌을 잘 깨달았기를.. 

(수정) 가장 먼저 언급해야할 것은, 벡터공간(vector space)의 의미에 관한 것이라고 생각되어 추가하도록 한다.

선형대수학은 벡터 공간에 대한 수학으로, 벡터 공간이란 벡터공간 공리를 만족시키는 공간을 가리킨다.(Vector space is a set of vectors. 벡터 공리는 생략하도록 한다.) 이때, 벡터공간에 주어진 연산은 덧셈과 실수배의 두 가지인데, 만약 어떤 두 벡터 공간이 연산의 구조가 같다면 두 공간은 사실상 같다고 말할 수 있다. 곧, V라는 벡터 공간에서 벌어지는 연산을 f라는 사상을 이용하여 벡터공간 W로 넘어와 살펴보았을 때 그 결과의 대응이 잘 유지된다면 그것을 사실상 같다고 말할 수 있는 것이다.

그것은, 특정한 벡터공간은 연산의 결과가 어떻게 되느냐에 따라 구조가 결정되는 것이라는 사실에서 자연스럽게 나오는 귀결이다. 단순히 E의 짝으로 H를 찾을 수 있고, F의 짝으로 I의 짝을 찾는 것을 넘어 E와 F에 주어진 연산을 한 결과의 짝이 E의 짝과 F의 짝에 주어진 연산을 한 결과와 같다는 것이 필요한 이유가 그것이다.

먼저 알아두어야 할 정의들이 있다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 f(v+v')=f(v)+f(v'), f(av)=af(v) (v,v' 은 V의 원소, a는 임의의 주어진 체의 원소)

를 만족하면, 'f는 선형이다(linear하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 선형사상(linear mapping,linear function, linear transformation)이라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 f(v)=f(v') 이면 v=v' 이다.

를 만족하면 'f는 단사이다(injective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 단사함수(injection,monomorphism)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가

 임의의 W의 원소 w에 대하여 어떤 V의 원소 v가 존재하여 f(v)=w 이다.

를 만족하면 'f는 전사이다(surjective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 전사함수(surjection,epimorphism)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 사상(mapping) f:V->W 가 전사이면서 동시에 단사이면 'f는 전단사이다(bijective하다.)'라고 말한다. 그리고 이러한 f를 전단사함수(bijection)라고 부른다.

벡터공간V에서 벡터공간W로 정의된 어떤 선형사상(linear mapping) f:V->W 가 전단사이면 f를 동형사상(isomorphism)이라고 부른다.

이제 isomorphic하다는 것을 정의할 수 있다. '어떤 벡터공간 V와 W가 isomorphic하다(동형이다.)'라는 것은 V에서 W로의 isomorphism이 존재한다는 것을 의미한다. isomorphism의 정의를(즉, 단사와 전사, 전단사의 의미를) 잘 곱씹어보면, isomorphic한 벡터공간 V와 W는 모든 원소가 서로 단 하나의 짝만 가지고 대응된다는 것을 알 수 있다. 즉, V는 W의 원소로(그리고 W의 원소는 V의 원소로) 유일하게 대응된다. 그리고 이를 단지 '이름 바꾸기'라고 부르는 것도 무관할 것이다. 우리는 V의 원소 v에 대응되는 W의 원소 w를(W의 원소 w에 대응되는 V의 원소 v를) 언제나 어렵지 않게 찾을 수 있다. 그러므로 아주 급진적으로 우리는 'isomorphic하다.'는 것을 '사실상 같다.'고 까지 표현할 수 있겠다.

어째서 사실상 같다고 말할 수 있는가? 그것은 덧셈과 상수곱의 구조에 대해서 V와 W가 이름만 다를 뿐 사실상 같기때문이다. 곧, f가 선형이므로 벡터의 합의 이름 바꾸기와 벡터의 이름 바꾸기의 합이 서로 같다.(스칼라배에 대해서도 마찬가지이다.) 그리고 이제 왜 isomorphic하다는 것을 정의할때 선형이라는 조건이 필요한 지 알 수 있다.

열심히 그림까지 손으로 그렸는데 스캔이 안되다니 세상에...... 다들 꼭 한번 그림을 통해서 느낌을 분명히 하길 바란다. 정의(와 정리)를 이해하는데에 그림은 언제나 큰 도움이 된다.