비트겐슈타인, 수학의 기초에 관한 고찰 1부 - (1)

최대한 자세하게 남겨두겠다는 욕심을 버리면 더 보기 편한 글이 만들어질테지만, 무언가 빼먹고 적어두지 않는게 생긴다면 후에 그것이 정확히 기억은 나지 않고 둥둥 떠다니기만해서 괴로운 때가 있지 않을까 하는 우려가 든다. 그래서 결국 최대한 자세하게 적어두기로 결심했다. 남들과 나누고 싶은 마음보다도 내가 원하는 대로 기록해두고 싶은 마음이 더 크다고 해야하려나?

 

루트비히 비트겐슈타인(Ludwig Josef Johann Wittgenstein), 1889.04.26~1951.04.29

 위키피디아에서 받은 사진인데, 파일 제목을 보니 벤 리차즈Ben Richards라는 사람이 찍었다고. 궁금증에 찾아보니 58세(59세?)의 비트겐슈타인이 만난 그의 사랑,19살의 의대생 학부생이라고 한다. 이름을 보면 알겠지만 그는 동성애자였다. (프란시스) 스키너라는 사람도 만났었다고 하길래 설마 그 스키너인가했으나, 찾아보니 아니구나. 행동주의 심리학자와 (지극한) 분석철학자, 논리철학자의 만남이라니 참 묘하다고 생각했는데 아니라니 뭔가 아쉬운 기분이다.

 어떤 사람의 책을 읽을 때 그 작가의 배경과 그 작품이 쓰여진 때의 상황 등을 아는 것이 책을 이해하는데에 도움을 준다고는 하는데, 나는 아직은 그것보다 텍스트 그 자체를 읽는 것이 더 좋다. 작가가 무엇을 전달하고 싶었는지보다 중요한 것은 이 글(텍스트)에서 내가 어떤 것을 얻어가는가라고 생각하기때문에! 물론 이 과정에서 그의 생각을 오해해서는 안되겠다. 그래서 이렇게 공개적인 곳에 글을 쓰는 것이기도 하고, 누군가 잘못된 생각이라고 지적해준다면 참 고마울 것 같다. 좋은 책을 읽으면서 생각을 나누고 정을 내리칠 사람이 없는 것이 안타까운 일이라는 것을 깨닫는 요즘이다.

 우선은 그의 (대표) 저작들을 읽고 나서 그에 대해서 슬슬 알아보고 해야겠다. 당장 논리철학-논고부터 좀 어떻게 해야할텐데..

수학의 기초에 관한 고찰(Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik)

 다른 글에서 이미 갖다 쓴 사진이지만 이것만한 그림을 못구하겠다. 전에도 말했듯이 물론 내가 읽는 책은 번역본이다. 박정일 숙명여대 교수가 번역했는데, 서문을 읽다가 그의 정성과 고민이 와닿아서 참 좋았다. 그에 대해서 더 찾아보고 싶었으나, 숙명여대 교양교육원(이 명칭이 맞는지도 잘 모르겠다. 정식 홈페이지에 전혀 자료가 없다.) 홈페이지 등을 찾을 수가 없어서 그냥 그 마음을 접는 것으로 결정하였다. 사실은 전공을 확인해보고 싶은 것이었으나, 아마 철학을 전공했겠지 싶다. 비트겐슈타인 전문가니까.

 비트겐슈타인 사후에 그가 생전 적어두었던 노트를 모아서 낸 책이므로 그 사유가 불완전하나, 오히려 자유로운 생각의 전개를 볼 수 있어서 참 좋다. 한편으로 놀라운 것은, 그렇게 둥둥 떠다니는 생각을 적어둔 것일텐데도 이러한 완성도가 나온다는 것이다.(물론 잘 쓴 책이라고 당당히 얘기는 못하겠다. 이 지나친 대명사의 사용과 난데없이 등장하는 문장부호들은 도무지가 이해할 수가 없다. 얘기하고 싶은 것은 그 논리의 완성도이다.) 부끄러운 마음으로 단상들을 적어놓은 노트를 접으며..

 아무튼 그러한 연유로 특별한 서문이 있지는 않다. 편집자 서문과 번역자 서문 뿐인데, 그것을 굳이 적어둘 필요는 느끼지 못하였다. 위에서도 말했듯이 나는 이 텍스트 자체(그것은 작가와의 교감보다 우선한다. 물론 작가와의 교감이 중요하지 않다는 말을 하고 싶은 것은 아니다. 중고등학교 시절에서 배우지 않는가. 작가-작품-독자의 3대 요소!)와의 대화를 가장 중요시하기때문에-말하자면 이 책과 끊임없이 대화를 이끌어 나가고자 하는 마음에- 온전히 그 대화를 적어두고자 하는 욕심을 부리고 싶다.

 며칠 전에 

아주 늦게서야 읽기 시작했다. 사실 누가 쓴 책인지 제목만 기억하고 살다가 우연히 책장을 보고는, 단숨에 집어들게 되었다. 논리철학-논고때문에 그에게 관심을 갖기 시작한 것이지만, 결국 가장 먼저 읽게 된 한국어로 번역 된 그의 책은 이 책 '수학의 기초에 관한 고찰'이 되었다.

이런 느낌의 책일 것이라고 생각은 했으나, 읽으면서도 참 무슨 소린지 모르겠는 부분이 많다. 우선은 한 번 다 읽고 나서 더 읽으며 해소하지 못한 부분을 해결할 계획이다. 다 읽고 나서 쓰는 감상은 이것과 다르길 기대한다.

한 부를 마칠때마다 글로 정리해두려고 했으나, 그때그때의 생각을 종이로 몽땅 적어두려고 하다보니 양이 많아져서 귀찮아졌다. 그냥 되는 대로, 써지는 대로 올리면서 수정하는 것으로 해야겠다. 하루라도 빨리 생각을 나눠보고 싶은 욕심에 조금 서둘러보고 싶다. 더불어 이렇게라도 책임감에 열심히 읽어나가게 되지 않을까 하는 기대감도 생긴다.

어떤 식으로 글을 구성하는 것이 좋을지에 대해서도 고민이 많이 된다. 그래서 우선 써보려고 하는 것이고. 우선은 내가 종이에 끄적여 뒀던 그대로를 수정없이 옮길 예정이다. 그래서 이 책에 대한 총평같은 것은 길게 남겨두지 않은 것이다. 중간중간의 감상을 나중에 모아놓고 보면 그것이 곧 총평이 되지 않을까하는 생각이다. 즐거운 독서와 글쓰기가 되었으면 좋겠다.

며 이 책에 관한 글을 쓰기 시작했었다. 그 와중에 마음이 변한 것이 이렇게 글을 새로 쓰게 된 원인이고. 아무튼 각 부가 끝나면 생각을 적어 놓았던 종이를 모아, 마치 비트겐슈타인이 그의 생각을 노트에 적어둔 것을 모은 것과 같이, 이렇게 글을 쓸 예정이다. 어서 끝까지 읽어야 할텐데(사실 별로 길지도 않다.) 이것저것 적어두는 것이 많고, 계속해서 생각을 하다보니 시간이 길어지는 것 같다. 내가 적은 필기는 구어체인데 그것도 그대로 옮기려다가 그것은 너무 '날로' 글을 적는 것 같아서 적절하게 손을 보며 옮기도록 해야겠다. 즐거운 글쓰기가 되길 바라며!

[I,5] (전략) 만일 자가 약간만 열을 받아도 유별나게 팽창한다면 우리는-정상적 상황에서-그 때문에 그것은 사용 불가능하다고 말할 것이다. 그러나 우리는 바로 이것이 오히려 바람직하게 되는 상황을 생각해 볼 수도 있다. 나는 우리가 육안으로도 그것이 팽창하는 것을 지각할 수 있는 상황을 염두에 두고 있다; 그리고 만일 육안으로 볼 때 한때는 더 길어지고 한때는 더 짧아지는 자에 의해서 동일한 것을 측정한다면, 이제 우리는 온도가 서로 다른 방에 있는 물체에 동일한 수치의 측정 길이를 부여하게 된다.

 그러면 다음과 같이 말할 수 있는데, 여기에서 "측정하기"와 "길이"와 "동일한 길이"라고 불리는 것은 우리가 그렇게 부르는 것과 다른 것이다. 여기에서 이 낱말들의 쓰임은 우리의 그것과 다르다;그러나 서로 유사하다; 그리고 우리들 또한 이 낱말들을 다양한 방식으로 사용한다.

[I,10] (전략) 이 모든 나무를 잘라내라! --도대체 너는 '모든'이 무엇을 뜻하는지 이해하지 못하느냐?(그는 한 그루를 남겨 두었었다.) 어떻게 그는 '모든'이 의미하는 것을 배웠는가? 아마도 훈련을 통해서.-그리고 물론 이 훈련은 그가 명령을 받을 때 그것을 한다는 것만을 야기시킨 것은 아니다.-그것[그 훈련]은 우리가 그 낱말을 듣고 말할 때 이것 또는 저것을 떠올리는 한 무더기의 그림(시각적인 것, 그리고 그 밖의 것)으로 그 낱말을 둘러쌀 것이다.(그리고 만일 우리가 그 낱말의 '의미'가 무엇인지 설명하고자 하면, 우리는 이 무더기로부터 맨 처음 한 그림을 끄집어낸다.-우리가 한번은 이 그림이, 한번은 저 그림이 나타나고 가끔은 전혀 아무것도 나타나지 않는다는 것을 알게 되면, 그때 우리는 그것을 비본질적인 것으로서 다시 거부한다.)

 우리는 "모든"의 의미를 '(x)·fx'로부터 'fa'가 따라나온다는 것을 배움으로써 배운다.-이 낱말의 사용을 익히게 하고 그 의미를 가르치는 훈련은 어떤 예외도 허용되지 않아야 한다는 것을 항상 목표로 한다.

 낱말의 의미와 그를 불러일으키는 그림. 

[I,13] 만일 'fa'가 '(x)·fx'로부터 더 이상 따라나오지 않는다면 "모든"이라는 낱말의 사용 너머 어떤 다른 것이, 즉 그 낱말 자체에 부착되었던 어떤 것이 변했음이 틀림없는 것으로 우리에게 떠오른다.

 이는 마치 "이 사람이 달리 행동한다면, 그의 성격 역시 달라야 할 것이다"라고 말하는 것과 비슷하지 않은가? 그러면 이것은 어떤 경우에는 중요할 수 있으며, 다른 경우에는 그렇지 않을 수 있다. 우리는 "행동 방식은 성격으로부터 흘러 나온다"라고 말하며, 그리고 그렇게 사용은 의미로부터 흘러 나온다.

 비트겐슈타인은 이런 식의 논의를 계속해서 전개시킨다. 실제 우리 삶에서 우리가 느끼는 '마땅히 그리해야함'과 '그리해야함' 사이에서 끊임없이 움직이고 있다. 그리고 이런 전개야말로 '날 것'의 느낌을 제대로 살릴 수 있는 부분이다.

[I,17] 우리가 추론은 어디서 성립하는지 묻는다면 가령 다음과 같은 대답을 듣게 된다:"만일 내가 명제들 …가 참임을 알아냈다면, …을 더 써내려가는 것이 정당화된다."-어떤 의미에서 정당화 되는가? 그 전에는 내게 그것을 써내려 갈 권리가 없었는가?-"그 명제들은 나에게 이 명제의 진리를 확신시킨다." 그러나 물론 그것이 문제가 되는 것은 역시 아니다.-"정신이 이들 법칙에 따라서 논리적 추론이라는 특수한 활동을 수행한다." 그것은 확실히 흥미롭고 중요하다; 그러나 과연 그것은 참인가? 정신은 항상 이들 법칙에 따라 추론하는가? 그리고 추론이라는 특수한 활동은 어디서 성립하는가? (후략)

 '어디에 있는가'는 질문은 후에 비슷하게 반복된다. 가령 A가 B라는 것을 밝히는 실험에 대해 비트겐슈타인은, 그 실험의 결과는 'A가 B라는 사실이 드러난 것'이라고 볼 수도 있고 'A가 B라는 사실을 사람들이 알게 되는 것'이라고도 볼 수 있다고 말하고 있다. 이 미묘한 차이야말로 이 책의 묘미이다.

 ├p⊃q·p => ├q . 참인 전제에 의해 함축된 것은 참이다.([I,19] 중 , 러셀, 화이트헤드,<<수학원리>>, 9.12 중. 비트겐슈타인은 이것을 "근본 법칙"(Grundgesetz), Pp.(primitive proposition)이라고 부른다.)

 

[I,20](전략) 이런 방식으로 추론하는 것이 옳다는 것은 논리학의 근본 법칙이어야 한다! - 그렇다면 근본 법칙은 다음과 같이 되어야 할 것이다:즉 "…로부터 …을 추론하는 것은 옳다";그리고 이 근본 법칙은 자명해야 할 것이다-- 그러나 그렇다면 그 규칙 자체도 옳은 것 또는 정당한 것임이 우리에게 자명해질 것이다. "그러나 그래도 이 규칙은 어떤 책에 있는 문장들을 다루고 있으며, 결국 그것은 논리학에 속하지 않는다!" (중략) '논리학의 근본 법칙'이라는 표현은 그렇게 되면 명제들의 순서열 자체와 같다.

 논리학의 영역을 벗어나는 추론은 논리학의 영역 밖이다. 즉, 논리학의 주제를 다룬 추론이 멀리서 보아서는 논리학 영역의 것이 아닌 어떠한 명제로서 주어진 것이라면 그것은 더 이상 논리학의 영역에 속하지 않는다. 근본 법칙과 추론의 규칙 사이의 차이에 유의해야한다.(비트겐슈타인은 [I,20]에서 추론의 규칙을 마치 색인에 나오는 정보처럼 여기고 있음을 밝힌다.)  "추론의 규칙은 자명한 근본 법칙이어야한다. 하지만 동시에 그는 어떤 문장이며 따라서 논리학에 속하지 않는다. 다만 명제의 이행에 대한 정보일 뿐이다." 

 [I,21]에서 비트겐슈타인은 러셀이나 프레게와 같은 사람은 실제로 이미 존재하는 규칙을 말로 표현하는 것 뿐이라고 생각한다고 밝힌다. 거창하게 표현하자면 그들은 '진리의 탐구'과정으로 보고 있는 것이다. 진리라는 이름의 달콤함이란! '당연한 것은 없다.'라는 내 생각은 결코 변해본 적이 없다. "당연한 것이 없다는 것 조차 당연하지 않다."

다른 사람에게 '그 이행'을 '그 이행'으로 결정시키는 다양한 방법이 있다.

 (i) 다른 기호 표현 -> 그림 -> 그 이행

 (ii) 희미한 이행 -> 그림 -> 그 이행

 (iii) 구술 -> 그림 -> 그 이행

 (iv) 그 이행 -> 그림 -> 그 이행

그리고 특별히 (iv)은 우리가 해본 적 없는 이행도(우리의 '상식'과 그것이 다를 지라도!) 충분히 훈련된다면 자연스러워질 수 있음을 이야기한다. 

[I,28] 증명이란-나는 다음과 같이 말할 수도 있는데-한쪽 끝에는 어떤 문장들이 씌어져 있고, 다른 쪽 끝에는 한 문장(이 문장을 우리는 '증명되는' 명제라고 부른다)이 씌어져 있는 하나의 도형(Figur)이다. (중략)

 그러나 p가 q와 r로부터 따라나온다는 것은 수학적 명제가 아니다. 그것은 다른 용도를 지니고 있다. 그것이 말하는 것은-우리는 이렇게 표현할 수도 있을텐데- p가 q와 r로부터 따라나오게 되는 하나의 증명(견본)에 대해 말하는 것은 의미가 있다는 것이다. "하양은 검정보다 더 밝다"라는 명제를 더 밝은 것은 하얗고 다른 것은 검은 두 대상에 대해서 말하는 것은 의미있고, 더 밝은 것은 검고 다른 것은 하얀 두 대상에 대해서 말하는 것은 의미가 없다고 주장하고 있다고 말할 수도 있는 것처럼 말이다.

 도형이나 그림에 대한 그의 특별한 표현을 생각나게 하는 흥미로운 문장이다. 증명의 결과도 증명의 과정에 있다는 표현이 생각난다. 

하양은 검정보다 더 밝다

더 밝은 것은 하얗고 다른 것은 검은 두 대상 : 의미가 있다.

더 밝은 것은 검고 다른 것은 하얀 두 대상 : 의미가 없다.

p가 q와 r로부터 나온다.

p가 [q와 r로부터 따라나오게 되는 하나의 증명(견본)에 대해] 말하는 것은 의미가 있다.

 p : 하양은 검정보다 더 밝다.

 q : 더 밝은 것은 하얗다.

 r : 다른 것은 검다.

 이어서 비트겐슈타인은 하얀 반점을 '더 밝음'의 범형으로, 검은 반점을 '더 어두움'의 범형으로 제시된 것임을 말하고 이를 통해 빨강은 하양보다 더 어둡다라는 명제를 밝히고자 한다.([I,29] 참고)

 "이 물체의 색깔은 저 물체의 색깔보다 밝다"라고 말하는 것은 무의미하며;(무의미하다는 것은 "그래 맞아. 그래서 뭐?"와 같다는 것을 의미하는 것인가?) 우리는 "이 물체는 저 물체보다 더 밝다"고 말함으로써 오해(오해? 명제의 주장과 그 사용에 대한 이야기? - 사실관계 전달과 (증명이 아닌) 보증의 차이)를 피할 수 있다. 처음엔 이해하지 못했는데 아마 이런 의미인 것 같다. 색깔사이의 비교는 우리가 어차피 약속으로 정한 것에 불과하기때문에 의미가 없다. 즉, 그것은 반대의 경우가 성립하더라도 (그것이 상호간에 약속이 된 것이라면) 문제가 되지 않는다. 누군가가 나에게 "이 물체의 색깔은~"하고 말해온다면 "그렇다. 당신은 그렇게 생각할 자유가 있다."고 대답해도 문제가 되지 않는다는 것이다. 한편 뒤의 질문에서는 얘기가 달라진다. 이것은 사실관계 전달이 아니라, 증명되어야 할 명제이다. 그리고 당신이 말하고 싶은 것이 당신이 가지고 있는 색깔에 대한 믿음이 아닌 참/거짓이 나뉘는 명제라는 것을 분명하게 한다는 점에서 오해를 피한다는 것이다. 오! 오오!

뒤엣 부분은 [I,30]과 함께 더 이야기 하겠다. 

[I,30] (c)에 의해서 증명된 명제는 이제 수적 동일성을 확신시키는 새로운 규정으로서 이바지한다:(후략)

 증명된 명제는 하나의 새로운 규정으로서 이바지한다.

 사람들이 흔히 논증이라고 말하는 것은 이미 거대한 일치에서 출발하고 있다. 그렇기때문에 그것은 이미 완전한 의미에서 논증임을 잃는다.

 증명없이 다른 사람의 보증에 따라 (기하학의) 명제를 믿을 수는 있으나, 그 명제로 무엇을 할 수 있는지 고민한다면 증명을 잃음에 따라 무언가를 잃는다는 것을 알게 된다. 그래서 우리는 그러한 보증이 어느 수준까지 작용하고 있는지에 대해서 끊임 없이 파고들어야한다. 

 실험은 경험이고 실험의 그림은 경험에서 얻게 되는 기본 규칙이다.

 그 어떤 것도 척도인 동시에 측정되는 것일 수는 없다.

 너무 길다. 욕심이 지나쳤던 것 같다. 부론 1부터는 분량을 줄이도록 하고, 우선 1부에 대해서 적어둔 것은 여러번에 나누어서 올려야겠다.